Главная > Физика > Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

1. Непосредственное рассмотрение электрического диполя.

Здесь будет не лишне вывести предыдущие соотношения непосредственно из уравнений Максвелла, так как окольный путь через четырехмерный потенциал и интегрирование в четырех измерениях не совсем соответствуют простоте данной задачи. Мы будем исходить из выражения (6) для которое уже удовлетворяет уравнению § 2. Подставляя его в мы получим следовательно, подразумевая под неизвестную пока скалярную функцию:

Подстановка (6) в дает для всех точек пространства, кроне нуля, где

Сравнение (6а) и показывает, что

Мы получили, таким образом снова уравнение (5) и одновременно убедились, что (6а) и переходят в выражение (6) для Уравнение везде, кроме начала координат, выполняется тождественно, в силу

Остается только интегрировать уравнение (5). Задача особенно упрощается потому, что мы должны искать решение, симметричное относительно начала координат. Поэтому вводим полярные координаты и предполагаем решение независящим от Мы получаем тогда, если обозначим через одну из составляющих вектора

Уравнение (5) можно поэтому написать в виде:

Это уравнение имеет форму уравнения колеблющейся струны. Его общее решение будет, по Даламберу:

где произвольные функции 1). Первая обозначает процесс излучения, вторая — волны, сходящиеся из бесконечности.

Для обеих функций поверхности равной фазы при заданном будут шары но в одном случае шары расширяются со временем а в другом случае они сжимаются Только первый процесс имеет физический смысл. Поэтому мы полагаем и вновь приходим с помощью этого простого метода к уравнению (2). Уравнение (2) вместе с (6) представляют поле произвольного колеблющегося диполя.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление