Главная > Физика > Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2. Поле линейного гармонического вибратора.

Перейдем теперь к случаю чисто периодических (гармонических) колебаний и положим:

(мы положили вдесь относительно этих обозначений, а также комплексного написания см. § 1 3).

Величина будет максимальным моментом диполя, равным заряду, умноженному на амплитуду колебания. Отбрасывая во всех следующих формулах, общий множитель (ср. § 1, 3), мы получим из (2) и (5)

где есть уже скалярная величина.

Выражение (7) мы назвали "функцией шаровой волны". Она играет при интегрировании (7а) такую же роль, как ньютоновский потенциал при интегрировании уравнения и переходит в пего при . Понимая далее под вектор, пропорциональный скалярной величине (7), мы напишем, в силу (6):

Если дело идет о линейно поляризованном колебании и мы вовьмем ось по направлению колебания, то Вводя совращенные обозначения:

мы получим:

Поэтому, в силу (8):

Вычисление этих выражений проходит различно, в зависимости от того, находимся ли мы вбливи диполя иди достаточно далеко от него: "вблизи" эначит

сравнимо с длиной волны "достаточно далеко" означает В последнем случае Здесь мы ограничимся только этим случаем.

Интересные особенности вблизи диполя (последовательное отделение электрических силовых линий от диполя, оттеснение линий, возникших раньше, под влиянием только что возникших) разобраны Герцем (1. с.) на ряде рисунков.

Для 1, пренебрегая высшими степенями получим из (9) и (10):

Отсюда следует, если понимать под радиус-вектор , под угол между и осью под результирующие поля

Рис. 87.

Мы можем здесь опять, как и в конце предыдущего параграфа, констатировать поперечный характер электрического поля. перпендикулярны друг к другу и к результирующие поля равны друг другу, оба равны нулю вдоль оси т. е. по направлению колебаний диполя. Магнитные силовые линии имеют вид кругов, расположенных вокруг оси электрические силовые линий лежат в меридиональных плоскостях, проходящих через ось .

Напротив, вблизи диполя, где невелико по сравнению с единицей, поле не будет чисто поперечным, в чем можно легко убедиться с помощью уравнения (10). В смысле предыдущего параграфа (см. конец § 3) это значит, что здесь на "поле ускорения" накладывается "поле скорости". Для пояснения может служить рис. 87. Здесь направление колебаний диполя указано стрелкой Около точки О построен шар с радиусом равным расстоянию от диполя до точки наблюдения

Точки пересечения этого шара с осью отмечены буквами (как северный и южный полюсы). На шаре проведена параллель и меридиан Направления в точке будут касательными к этим кругам. Чтобы облегчить сравнение этих результатов с результатами предыдущего параграфа, мы отбросим предположение о чисто гармонических колебаниях, и возьмем для общее выражение (2) вместо частного (7). Если мы оставим в силе

предположение, что мы находимся на достаточно большом расстоянии от диполя, мы сможем в (2) и в аналогичных выражениях дифференцировать только но аргументу и не дифференцировать множитель , например,

Выражения для нолеё получаются с помощью тех же вычислений, что и выше:

Все, что касается поперечного характера поля и взаимного расположения остается в силе нопрежнему. Для результирующих полей мы теперь получим:

Здесь положено, как и в (1), Конечно, нужно брать ускорения V не в момент а в более ранний момент как показывает наша формула (14). Далее формула (14) показывает, что для определенного радиуса-вектора существенно не само ускорение а его составляющая по направлению, нормальному к

Эти составляющие ускорения показаны на рис. 87.

Мы теперь непосредственно видим связь между формулами (14) и формулами (20) в конце предыдущего параграфа. Вся разница заключается в множителе Для что мы предполагаем в нашем случае, этот множитель равен единице. Наши теперешние формулы соответствуют неподвижному или медленно движущемуся источнику света, тогда как прежние — случаю быстро движущегося электрона. Влияние скорости электрона нужно например учитывать в теории рентгеновых лучей.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление