Главная > Физика > Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

4. Обобщения.

Не трудно обобщить формулы пункта 1 этого параграфа таких образом, чтобы они были применимы к среде с произвольными (но постоянными во всем пространстве) электромагнитными константами Нужно только положить, вместо (6)

и подчинить уравнению:

Тогда уравнения (I) - (IV) § 1 будут удовлетворяться. Конечно, интегрирование нельзя уже будет произвести так легко и в таком общем виде, как в 1, так как решение Даламбера уже не годится при наличии затухания (член с

Поэтому мы перейдем, как в 2, к случаю гармонических (чисто периодических) колебаний, т. е. представим зависимость от времени в виде и опустим этот множитель во всех формулах для Уравнение (19) перейдет тогда в

которое можно, введя полярные координаты, написать для каждой прямоугольной составляющей так:

Общий интеграл этого уравнения будет опять

Из двух членов справа нужно зачеркнуть второй, так как мы берем Те с положительной мнимой частью (ср. § 1, 3). В противном случае возрастало бы экспоненциально с Тогда мы получим при частном выборе амплитуды:

как в (7), однако, с той разницей, что теперь Те комплексно. Уравнения (18) переходят теперь в

Если взять направление по оси вычисления дают в точности уравнение (10), с единственной разницей, что в выражении для нужно заменить Те через ее» Сообразно этому остаются в силе прежние положения о поперечном характере поля; только уже не будут равны друг другу, но будут различаться но величине и фазе, так как они различаются на постоянный множитель (комплексный, если Чтобы освободиться от ограничения, обязывающего нас брать прямоугольные координаты, предположим, что разложены на составляющие по любым криволинейным координатам. Вместо мы положим общее

где скалярная функция, которой мы можем распоряжаться по произволу, и которую теперь лучше не приравнивать Взяв для выражения

мы удовлетворим уравнениям и , § 1. Уравнение приводит теперь к равенству

Частное предположение дало бы прямое обобщение уравнения (19): для криволинейных координат, именно !

При этом удовлетворяется и уравнение Для чисто периодических процессов это понятно само собой; в общем случае это можно видеть, взяв расходимость от уравнения (19).

Наши последние формулы допускают довольно замечательное обращение. В дальнейшем мы будем говорить о магнитном диполе, вместо электрического. Представим себе, например, что вдоль оси колеблется магнитный полюе; тогда, в противоположность тому, что было раньше, магнитные линии будут лежать в меридиональных плоскостях, электрические будут круги около оси и Для целей радиотелеграфии (глава магнитный диполь схематизируем рамочную антенну, тогда как электрический обыкновенную линейную самом деле, в рамочной антенне магнитное поле пульсирует в направления нормали к виткам, которая представляет тут ось диполя. В линейной же антенне вдоль оси диполя, т. е. вдоль антенны, колеблется электрическое поле.

Мы опишем поле такого магнитного диполя сразу для среды с произвольными электромагнитными постоянными, если вместо (18) возьмем:

Чтобы удовлетворить уравнениям Максвелла (I) - (IV) § 1, необходим только, чтобы удовлетворяло уравнению (19) или, в случае гармонически колебаний, уравнению (19). Отсюда следует для то же самое выражение (20), как и для электрического диполя. Вычисления выражения (21) для гармониче ских колебаний дают в основном такие же формулы как (11), с заменой В на с несколько измененными постоянными:

Эти выражения подтверждают наше утверждение, что магнитные линии лежат в меридиональных плоскостях, а электрические имеют вид кругов вокруг оси В гл. мы возвратимся к колебаниям этого типа.

Обобщения уравнения (21) для криволинейных составляющих напишем только для гармонических колебаний:

причем векторная функция и скалярная опять должны удовлетворять уравнению частный выбор допустим и здесь, но в последующем не всегда полезен.

Не лишнее здесь подчеркнуть разницу между постоянным магнитным диполем, какой рассматривается в атомной теории магнетизма, и колеблющимся магнитным диполем, который мы изучали выше. Представлениям Ампера о постоянных молекулярных токах соответствуют в электронной теории круговые электронные орбиты. Круговые колебания, лежащие, например, в плоскости можно, как известно, заменить двумя линейными колебаниями по направлениям х и у, смещенными друг относительно друга на по фазе, т. е. двумя векторами Герца, Наложение этих двух колебаний представляет Амперов молекулярный ток в плоскости или, что то же самое, магнитный диполь по оси но с одной существенной разницей: оба линейные, а следовательно, и круговые колебания сопровождаются излучением; вследствие потери энергии уменьшается амплитуда линейных колебаний (или радиус круга кругового колебания). А для объяснения атомного магнетизма нам необходим диполь с постоянным по времени моментом. Следовательно, чтобы перейти к электронной модели магнетизма, мы должны отвлечься от излучения.

Нечто совершенно другое представляет колеблющийся магнитный диполь, каким мы его рассматриваем в радиотелеграфии. Для него излучение существенно и физически реально. Магнитный диполь, колеблющийся, например, по оси соответствует не постоянному, а переменному круговому току в плоскости Этот переменный магнитный диполь и дает предыдущая теория, тогда как постоянный магнитный диполь с точки зрения классической электродинамики представить себе нельзя.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление