Главная > Физика > Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2. Понятие пространства Римана.

Ввиду простоты третьего граничного условия можно попытаться удовлетворить ему, пользуясь методом отражений. Для этого нужно построить отражение источника в плоскости экрана (мы возвращаемся к первоначальной формулировке задачи с точечным источником). Это, однако, запрещается условием 2, но которому единственная особая точка функции и в физическом пространстве есть Изображение О поэтому не может лежать в "физическом пространстве". Это заставляет нас ввести еще некоторое "математическое вспомогательное пространство", которое вместе с физическим образует двойное пространство Римана. Его построение мы опишем так: возьмем два экземпляра трехмерного пространства, разрежем их вдоль 8 и скрепим каждую сторону поверхности разреза с противоположной стороной разреза в другом

пространстве. Мы будем называть также "разрезом", край В экрана S - "линией разветвления", — следуя в атом терминологии из учения о Римановых поверхностях в теории функций, с той, однако, разницей, что наше Риманово пространство — Эвклидово, тогда как поверхность Римана определяется только в смысле геометрии положения (Analysis situs).

Наша задача — найти решение дифференциального уравнения (1), однозначное и непрерывное в пространстве Римана и имеющее там только одну особую точку Назовем его "главным решением" для пространства Римана или, по отношению к физическому пространству, "главным разветвленным решением". Правда, главное решение для простого пространства

однозначно также и в пространстве Римана, но имеет там не одну, а две особых точки; именно, кроме также лежащую в том же месте, что и но в другом экземпляре пространства. Мы будем искать такое решение которое ведет себя по отношению к двойному пространству так же, как по отношению к простому. Мы сейчас увидим, как можно в простых случаях действительно построить такое решение; вследствие простоты математической постановки вопроса решение получается даже в относительно простом и замкнутом виде.

Рис. 89.

В двойном пространстве можно провести процесс отражения, не создавая никаких недозволенных особых точек в физическом пространстве. Отражение точки попадет в математическое вспомогательное пространство, как пояснено на рис. 89. Выходя из мы переходим экран в точке А, вступаем в другой экземпляр пространства и приходим в точку расположенную симметрично с по отношению к экрану. Если мы пойдем оттуда через на переднюю сторону разреза и перейдем экран второй раз, например, в В, то попадем опять в физическое пространство. Здесь мы можем дойти назад до например, через точку С, которая, хотя и лежит в том же месте, что и но не тождественна с ней. Заметим еще, что введенное здесь разветвление вдоль вполне соответствует физическим условиям. В самом деле, оптические поля по обеим сторонам не имеют друг с другом ничего общего. Они вполне отделены друг от друга идеальным проводником. Аналитическое продолжение поля передней стороны экрана не дает поля задней стороны, а переводит нас во вспомогательное математическое пространство.

Следующее утверждение будет понятно без дальнейших пояснений. Если или будет разветвленное главное решение, обращающееся в бесконечность в или, соответственно, в то

будет решением нашей диффракционной задачи, причем верхний знак относится к случаю А, нижний — к случаю В. Точно так же для диффракции плоских волн можно утверждать следующее:

Если будут разветвленные главные решения, соответствующие: одно — волне, падающей в физическом пространстве в направлении а, другое — волне, падающей в математическом пространстве в направлении а, то решение диффракционной задачи для плоской волны, с поляризацией А или В, будет

В обоих случаях молчаливо предполагается, что наше главное решение V удовлетворяет на бесконечности условиям (4) или (4), которые гарантируют там характер уходящих волн. При исследовании частных случаев в следующем параграфе на это нужно обратить особое внимание.

Ссылаясь на рис. 89, рассмотрим соответствующую диффракционную задачу для "дополнительного" экрана. Под этим мы будем понимать, как обычно, экран закрывающий ту часть плоскости 8, которую оставлял открытой и обратно (ср. также рис. 90а, b). Задача отличается от предыдущей только тем, что физическое пространство нужно иначе ограничить. Теперь 8 образует разрез, отделяющий физическое пространство от математического; напротив, при перехода через прежний экран 8, мы остаемся в прежнем экземпляре пространства. Поэтому принадлежит теперь к физическому пространству и ее нельзя брать в качестве отражения. Напротив, лежащая в том же месте, что и точка принадлежит математическому пространству. Так же как лежала симметрично с по отношению к 8, так и лежит симметрично с по отношению к Поэтому мы должны перепести отражение в соответственно заменить направление а на лежащее в другом экземпляре пространства направление одинаковое с а, чтобы удовлетворить граничным условиям для Уравнения (4) и (4а) представляют одновременно решения соответствующих диффракционных задач для дополнительного экрана если только заменить на соответственно, а

В виде дополнения мы вернемся к задаче черного тела покажем, что предположение

(без добавления отраженного действия) описывает простейшим образом физическое представление черноты. Граничные условия вроде или теперь, естественно, не выполняются. Однако, здесь достигнуто то, что волна, попадающая на переднюю сторону экрана, исчезает в нем (именно, переходит в математическое вспомогательное пространство), и что (из-за отсутствия источника света в математическом пространстве) от экрана в физическое пространство не возвращается заметного излучения. Это в самом деле соответствует характерным для черного тела представлениям (стр. 850): отсутствие отражения и полное поглощение.

Впрочем, черное тело описывается таким путем неоднозначно. Очевидно, мы могли бы вместо двойного пространства Римана употреблять тройное, четверное, или бесконечно кратное пространство, по той же схеме, по которой мы строим двойное пространство Римана, а именно путем последовательного прикрепления дальнейших экземпляров пространства. Эти пространства высших порядков, в особенности, бесконечно высокого порядка, соответствовали бы еще лучше нашему представлению о черноте, чем двойное пространство, так как они пропускали бы назад в физическое пространство еще меньше падающей энергии. Однако о математически-однозначной реализации черного тела нельзя говорить даже и для пространства Римана бесконечной кратности. В самом деле, нас ничто не заставляет брать в математических экземплярах пространства те же разрезы, что и в физическом, или брать там те же дифференциальные уравнения распространения света. Проблему черного тела по самому существу дела нельзя однозначно сформулировать математически.

В пользу нашего представления о черном теле и нашего введения разветвленных решений вообще, говорит то обстоятельство, что, в сущности, по

этому же пути идут при экспериментальном осуществлении черного тела в том виде, как оно употребляется при термодинамических измерениях излучения. Как известно, такое черное тело состоит из нагретой полости, снабженной маленьким отверстием. Это отверстие играет роль нашего разреза, так как оно поглощает всякое падающее излучение; полость таким же образом соединена с помощью этого отверстия с внешним пространством, как наше математическое вспомогательное пространство с физическим.

Мы хотим еще обратить внимание на одну общую зависимость между разветвленными главными решениями в n-кратном пространстве Римана и неразветвленным решением [уравнение (81)] в простом пространстве. Если точки лежат в следующих друг другом экземплярах пространства на одном и том же месте с то очевидно

т. е. симметричная функция первой степени от разветвленных решений равна неразветвленному решению. В самом деле, сумма слева представляет решение уравнения однозначное в обыкновенном пространстве, и такое, что оно только в одной точке обращается в бесконечность как следовательно, оно должно быть тождественным с главным решением (Соответствующее соотношение получится также, если слева не менять заменить точками лежащими в следующих друг за другом экземплярах пространства в том же месте, что и

Рис. 90а.

Рис. 90б.

Наша теорема (6) представляет обобщение и уточнение так называемого принципа Вабинэ, который утверждает, что два дополнительные экрана образуют диффракционные картины так, что их векторы колебаний в каждой точке дополняют друг друга до невозмущенного колебания падающего света, которое имело бы место в соответствующей точке при отсутствии (экранов.

Пусть на рис. 90а, так же как на рис. 89, в S будет экран (вместо одного экрана мы могли бы рассматривать систему экранов, а в "дополнительном" случае — систему отверстий). Из источника мы достигаем точки в физическом пространстве через точку С. Если же мы, пройдя через А, перейдем экран, то мы попадем в математическое вспомогательное пространство (пунктир) и в точку отличную от Если мы будем считать экранчерным, то состояние в можно представить через

Рис. 90b отличается от рис. 90а только (ср. рис. 89) другим ограничением физического пространства. Физическим пространством теперь является вся область, куда можпо попасть, не переходя через Поэтому путь лежит весь в физическом пространстве, тогда как точка и (обозначенный пунктиром) путь лежат в математическом вспомогательном пространстве. Состояние, наблюдаемое в точке физического пространства, будет

Если мы условимся изображать черное тело с помощью двойного пространства Римана (а не с помощью пространств более высоких порядков), то теорема (6) дает:

т. е. распределение света в случаях 90а и b в соответствующих местах складывается в т. е. в освещение, какое было бы при отсутствии экранов. Это и есть принцип Вабинэ.

Наше изложение одновременно показывает, что этот принцип имеет ту же степень неопределенности, что и само представление о черном теле, так как уравнение (6) имеет место только тогда, когда черное тело определяется с помощью двойного пространства Римана и, строго говоря, будет неверно, если взять для него другое определение (например, с помощью пространства Римана бесконечной кратности).

Рис. 91.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление