Главная > Физика > Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

4. Решения для пространства Римана.

Пусть пространство Лимана имеет только одну прямую неограниченную линию разветвления, которую мы выберем за ось Пусть это пространство состоит из экземпляров пространства расположенных таким обравом вокруг линии разветвления, что после -кратного обхода вокруг нее мы возвращаемся в исходную точку.

Если бы плоская волна падала перпендикулярно к линии разветвления (т. е. в плоскости ), мы бы вернулись к прежнему двухмерному случаю поверхности Римана. Поэтому рассмотрим плоскую волну, нормаль к которой имеет направляющие косинусы Неразветвленное решение в простом пространстве будет:

Введем полярные координаты в плоскости

Тогда (13) напишется так:

Заменим теперь (как и в предыдущем пункте) угол падения комплексной переменной интегрирования а и добавим амплитуду которую мы определим спачала уравнением (9). Мы получим:

Если мы теперь выберем путь интегрирования как на рис. 91, то опять перейдет в (13а) (с той несущественной разницей, что азимут направления падения равен нулю), независимо от того, будем ли мы интегрировать по контуру вокруг или по обеим петлям С.

Мы осуществим переход к -кратному пространству Римана, если для возьмем выражение (9а). Из тогда получится:

интегрирование нужно проверти по петлям С, как на рис. 91. Из того, что добавленный в показателе множитель имеет вещественное положительное значение, следует, что разделение плоскости а на заштрихованные и незаштрихованные части остается прежним.

Совершенно так же, как и в предыдущем пункте, можно доказать, что выражение (14) удовлетворяет условиям 1, 2, 3, 4 и уравнению (11). В частности наше выражение можно привести к виду, аналогичному (10а), который явно показывает однозначность нашей функции в пространстве Римана и -значность в обыкновенном пространстве; это достигается подстановкой

Обратимся теперь к "функции светящейся точки", т. е. к решению, обращающемуся в одной точке в бесконечность. Соответствующее неразветвленное решение будет по уравнению (3),

Здесь В выражается через введенные выше полярные координаты следующим образом

Заменяя на а, мы будем писать вместо затем мы введем

Тогда

Выражение

тождественно с первоначальным выражением для если взять из (9) и в качестве пути интегрирования в плоскости а принять обход вокруг полюса (азимут о мы будем считать нулем). Нам надо теперь деформировать этот путь интегрирования, и мы должны поэтому посмотреть, как значения отображаются на плоскости а.

Мы утверждаем, что ломаная линия (рис. 93)

соответствует вещественной оси плоскости В самом деле: вдоль прямой имеем где а вещественное положительное число, поэтому вещественный и отрицательный, следовательно, по вещественно и положительно, и само при подходящем выборе знака, вещественно и отрицательно.

При переходе от А до при вещественном остается вещественным и отрицательным. На отрезке Точка соответствует тому значению для которого, по обращается в нуль.

Рис. 93.

Если бы мы пошли дальше, за сделалось бы отрицательным, следовательно, мнимым. Поэтому, чтобы итти дальше по вещественной оси плоскости мы должны в точке повернуть навад и вернуться в Отрезкам и соответствуют тогда возрастающие положительные значения Мы заштриховали область плоскости а, ограниченную ломаной линией чтобы показать, что она соответствует положительно-мнимой части плоскости

Очевидно, что, кроме точки величина исчезает еще в точке и во всех точках отличающихся от на кратные Отрезки служат линиями разветвления При переходе через них, так же как при переходе через нашу ломаную лини» в любом другом месте, мы переходим из положительной в отрицательную полуплоскость плоскости или наоборот. Нашу плоскость а нужно, следовательно, в свою очередь представлять себе как двухлистную поверхность Римана соответственно двум значениям области представленного на рис. 93 верхнего листа, которые не заштрихованы и соответствуют отрицательно мнимой полуплоскости будут заштрихованы в нижнем листе, так как там они соответствуют положительно мнимому и наоборот. На нашем чертеже пунктиром обозначены те кривые, которые проходят в нижнем листе, сплошные кривые проходят в верхнем листе.

Теперь мы достаточно подготовлены в тому, чтобы деформировать ввер" и вниз наш первоначальный контур, проведенный вокруг Наш путь интегрирования должен там, где он уходит на бесконечность в верхнем (нижнем) листь проходить по штрихованной (нештрихованной) области, так как только в этом

случае показательная функция исчезает; а это необходимо и достаточно для сходимости интеграла. Этому условию удовлетворяют две петли С, которые вместе с необозначенными на рисунке и взаимно уничтожающимися контурами эквивалентны первоначальному контуру. Так как при деформировании контура нельзя пересекать точек разветвления, оба пути должны переходить через разрез причем они при этом переходят в нижний лист и дальше обозначены пунктиром.

Переход от простого к -кратному пространству Римана теперь очень прост. Подставим в (16) для прежнее выражение (9а) и сохраним путь интегрирования, состоящий из двух петель С. Получающаяся таким образом функция

удовлетворяет следующим условиям:

1. Она удовлетворяет волновому уравнению [как всякое выражение вида (16) с произвольным ] конечно и непрерывно для всех положений точки наблюдения кроме того случая, когда точка и источник совпадают, т. е. когда

Первая часть этого утверждения понятна сама собой, так как дается в виде сходящегося комплексного интеграла и мы, вообще говоря, можем всегда провести путь интегрирования так, что он не будет проходить через полюс Вторая часть утверждения следует из того, что петли С обязаны проходить между

Когда , а значит то обе точки разветвления попадают в Обе петли С проходят тогда через Иптеграл тут не обращается в бесконечность, если одновременно не равно нулю.

Так как точка определена из условия то для в точке будет также и т. е. в точку попадает также и полюс подинтегральной функции, а пути интегрирования С необходимо проходят через полюс.

Нужно заметить, что при этом выводе обязательно предполагается, что (или равно кратному Напротив, если хотя и будет но или полюс не будет совпадать с точкой определенной условием Проходящие через петли О не проходят через полюс и интеграл не делается бесконечным. Это можно выразить еще так: наш источник лежит в первом листе нашего пространства Римана. Функция обращается в бесконечность только для в первом листе и остается конечной в точках лежащих в том же месте в других листах. То, что она в делается бесконечной как раз так, как можно усмотреть из уравнения (6) стр. 854. Именно, так как здесь конечны, должно обращаться в бесконечность совершенно так же, как

Уравнение (6) можно, очевидно, проверить таким же образом, как это сделано на рис. 92: и пар петель, лежащих рядом и смещенных друг относительно друга на дополняются до замкнутбго обхода около полюса

3. Однозначность в -кратном пространстве Римана следует из строения нашей формулы и становится очевидной после подстановки как в уравненни (14а).

4. При исчезает во листах пространства Римана как мы сейчас покажем. После этого из (6), следует, что оно исчезает также и в первом листе так как в уравнении (6) при

кроме обращается в нуль также и правая часть Для доказательства первого положения заметим, что везде, где на рис. 98 имеет положительную мнимую часть, обращается в нуль при Вследствие этого в заштрихованных областях выпадают сплошные у часты пути а в незаштриховашшх — пунктирные. Но мы можем провести петли таким образом, что их сплошные участки будут проходить только заштрихованным областям, а их пунктирные участки — только по незаштрихованным. Для этого достаточно оттянуть верхнюю петлю вниз настолько, чтобь она проходила через и нижнюю петлю поднять кверху, чтобы она пре ходила через При этом полюс помешать не может, так как, предположению и следовательно, он лежит вне отрезка

Переход к предельному случаю пространства бесконечной кратпостк можно провести в каждом из уравнений (14) и (17) совершенно так как в уравнении (12).

Вернемся еще раз к двухмерной задаче. Мы могли бы и здесь искать ветвленное решение, обращающееся в бесконечность в одной точке, так сказать "функцию светящейся лилии". Эта функция будет представлена формулой, аналогичной (17), с тем же путем интегрирования, но при этом величина будет заменена ее двухмерным аналогом следующий уравнение обозначает первую функцию Ханкеля (Hankel) порядка О. Однако особой точкой этого решения (а также и соответствующего разветвленного решения) является не полюс первого порядка, как для функции светящейся точки, а логарифмическая особая точка, как в двухмерной теории потенциала.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление