Главная > Физика > Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

5. Приложения и дополнения.

При помощи функций, построенных в предыдущих пунктах, и метода отражений [уравнения (4) и (4а)] можно прежде всего решить задачу о диффракции от бесконечно тонкого, вполне отражающего экрана, имеющего форму полуплоскости, при этом нужно брать решение для двойного пространства Римана (Римановы поверхности с двумя листами). Для черной полуплоскости можно брать -кратное или — кратное разветвление.

Но с помощью наших разветвленных решений можно исследовать также и случай вполне отражающего клиновидного тела. Классическая установка, соответствующая этой задаче, представляет двойное зеркало Френеля (Fresnel), для теории которого как раз существенна диффракция на ребре клина (на прямой, где соединяются оба зеркала). Пусть угол в воздушном, пространстве будет так что угол клина Воздушное пространство вне клина будет нашей областью I, для которой поставлена задача. Будем отражать ее последовательно в плоскостях клина. Исходная область, вместе с зеркальными изображениями заполняет все пространство без пропусков ровно раз.

Пусть в области I задана светящаяся точка Путем однократного отражения на одной из граней клина пусть возникает изображение Вместо того чтобы продолжать отражения в другой грани, можно последовательно поворачивать раз пару точек вокруг ребра клина на угол ; пусть при этом возникают точки Каждую из этих точек возьмем

в качестве источника -кратно разветвленного решения Мы получим решение диффракционой задачи в виде:

Верхний знак соответствует условиям на поверхности (на обеих гранях клина) и нижний . Доказательство заключается в том, что не только обе плоскости, ограничивающие исходную область, но и все их изображения в -кратпом пространстве Римана лежат симметрично по отношению ко всем источникам и

Если мы возьмем на одной грани на другой то для угла клина нужно будет сделать не отражений, причем, на грани и ее изображениях — с изменением знака; на грани (6) и ее изображениях — сохраняя знак. Мы придем к -кратному перекрытию пространства, т. е. к -кратно разветвленным функциям.

Применение к случаю (двух или трехмерной) плоской волпы очевидно. Если угол 6 нельзя выразить как рациональное кратное , мы должны взять, вместо -кратного пространства Римана, пространство бесконечной кратности.

Интересен случай прямоугольного клина Решение будет однозначно в тройном пространстве Римана. Задача решена по изложенному здесь методу Рейхе. Сопоставляя действительную форму и размеры диффракционной щели с длиной световой волны, можно сообразить, что края щели больше похожи на края глубокой выемки туннеля, чем на края бесконечно тонкой пластинки. Поэтому явления при выходе волны из щели можно, с обеих сторон щели, приближенно описывать как диффракцию на прямоугольных клиньях.

Задачу с клином можно решить еще иначе, в известном смысле проще. Если угол клипа, найдем сначала решение волнового уравнения, периодическое но азимуту с периодом 20. Его можно получить совершенно так же, как решение (17), имеющее периоды Нужно только заменить в (17) [или (10)] через , т. е. — через полученная функция будет однозначна внутри клина с углом 20, который следует представлять себе периодически продолженным. Разделив этот клин пополам и поместив в одну половину полюс в другую — его зеркальное изображение составляем функцию.

Мы удовлетворим Таким образом граничным условиям либо для обеих граней разделенной пополам области. При сравнении этой формулы с прежней (18) оказывается, что указанные в последней суммы можно вычислить и что это дает Это справедливо и в случае иррационального когда однако суммы в (18) бесконечны.

С помощью примененного здесь метода можно также разобрать случай, когда источник света излучает не периодически, а по произвольной заданной, функции времени. Такие решения применяются при диффракции рентгеновых лучей и удовлетворяют уравнению:

Рубинович (A. Rubinowicz) интегрирует это уравнение для произвольного угла клина и применяет полученные функции к последовательному построению решений предыдущего уравнения на произвольной поверхности Римана при произвольном начальном состоянии.

До сих пор не удалось построить в конечном виде решение для случая двух параллельных линий разветвления или, в двухмерной терминологии, для. поверхностей Римана с двумя точками разветвления, лежащими на конечном расстоянии. Такое решение позволило бы точно решить задачу со щелью (точно в математическом смысле, т. е. с абсолютно отражающими бесконечно тонкими краями щели, а не точно в физическом смысле). Шварцшильд 4) дал сходящийся ряд последовательных приближений для задачи со щелью, исходя из разветвленных решений для полуплоскости и пользуясь знакопеременным методом (alternierendes Verfahren).

В пространственной теории потенциала решение для круговой линии разветвления получается из решения для прямой с помощью преобразования обратными радиусами 5), и оттуда путем отражения получается потенциал круглого диска. Соответствующей оптической задачей была бы диффракция от круглого экрана (например, капелька тумана) или от круглой щели (зрачок, зрительная труба). К сожалению, преобразование обратными радиусами не применимо к уравнению Именно, последнее переходит при инверсии на шаре радиуса в уравнение Инвертированное решение соответствует не постоянному, а переменному показателю преломления (к тому же с особой точкой в центре инверсии). Поэтому, если мы хотим получить математически точное решение, мы должны уже для круглого экрана разработать другие методы (разложение в ряд).

Следует еще упомянуть одну задачу теории упругости, в которой рассматривается крепость на разрыв поцарапанной поверхности. Если считать трещину бесконечно тонкой (угол клина в упругом материале равен то можно

удовлетворить граничным условиям для обеих сторон полуплоскости и лритти к цели с помощью двузначных (однозначных на двойной плоскости Римана) решений уравнений упругостих).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление