Главная > Физика > Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

3. Асимптотическое выражение разветвленной функции плоской волны.

Будем опять исходить из уравнения (10а) § 1 и начертим путь интегрирования рис. 91 в переменных пунктир). Решение (10а) мы напишем в виде:

Предположим сначала, что так что точка не лежит на первом листе Римановой поверхности (стр. 856). Тогда будет регулярной на отрезке и мы можем заменить оба пути двумя ветвями рис. 97. Оба последние пути принципиально тождественны с соединительными путями на рис. 91 и отличаются от них только тем, что они проходят через точки Наши пути проходят целиком по заштрихованным областям, где имеет отрицательную вещественную часть, которая делается бесконечной при Поэтому интеграл по сводится почти к нулю за исключением участков вблизи критических точек Эти точки являются седловыми точками функции так как в них

Совершенно так же, как на стр. 868, через эти точки следует проходить по прямой, наклоненной под углом в 45° к вещественной оси, так чтобы описать

на поверхности, изображающей абсолютную величину кривую самого быстрого подъема и спуска. Для окрестностей положим:

и считая медленно меняющейся функцией, получим сначала

Пределы интеграла выражены здесь, как и в (7), через произвольно малую, независящую от величину Проинтегрировав, как в (7), и соединив два члена в скобках вместе, а мы получим

Если, с другой стороны, точка наблюдения находится в "первом листе" то на отрезке лежит полюс функции с вычетом При переходе от сплошного контура к пунктирному (рис. 97) этот полюс нужно окружить замкнутым контуром, который дает для интеграла

Вследствие этого, вместо (15), получается:

Можно убедиться [легче всего с помощью выражения (14)], что и значений и, соответствующие точкам лежащим одна над другой на поверхности Римана, дают в сумме как этого требует уравнений (11), § 1.

Рассмотрим теперь отдельно оба множителя из которых складывается правая часть выражения (15). Множитель

представляет цилиндрическую волну, расходящуюся от линии разветвления (края экрана). Вообще уменьшение амплитуды, пропорционально характеризует цилиндрический тип волн. Для шаровых волн [§ 1, (3)] амплитуда уменьшается как т. е. интенсивность как так что полная интенсивность на поверхности шара не зависит от Подобно этому, для цилиндрической волны должна оставаться постоянной общая интенсивность на поверхности цилиндра; а так как поверхность эта на единицу длины образующей равна то амплитуда должна уменьшаться как

С другой стороны, знак показателя в выражении соответствует волне, расходящейся от линии разветвления (а не сходящейся, что было бы физически бессмысленно). Чтобы выяснить это, добавим временной множитель:

То, что мы здесь должны писать а не связано с тем, что мы представляли волну, приходящую со стороны положительных х, в виде:

В самом деле, если временной множитель (ср. § 1, 3) взять в виде мы получим плоскую волну, распространяющуюся в сторону уменьшающихся х, т. е. к началу координат.

Разумеется, обращение в бесконечность при физически нереально. Мы ведь зпаем [формула (11)], что наша функция на самом деле везде конечна и при равна Кажущееся обращение в бесконечность происходит оттого, что наша формула пригодна только асимптотически при и ее нельзя экстраполировать на Однако, как мы увидим, глаз как раз и делает такую недозволенную экстраполяцию.

Наконец, еще замечание о постоянном множителе в (16а). Он показывает, что фаза цилиндрической волны не совпадает с фазой падающей волны [фаза последней дается выражением т. е. в начале координат а отстает от нее на Такой "скачок фазы" происходит всегда, когда волна проходит через фокус (в нашем случае линия фокусов) и является, как и кажущееся обращение в бесконечность при 0, только следствием нашего асимптотического представления. На самом деле, не только амплитуда, но и фаза остаются непрерывными, поскольку вообще можно говорить о фазе при такой сложном характере колебания.

Обратимся теперь ко второму множителю в (15):

который дает зависимость амплитуды от азимута. уменьшается по мере того, как 9 удаляется от значений Обращение в бесконечность при и опять-таки только кажущееся и объясняется недостаточностью нашего асимпкк тического приближения (см. ниже) При переходит в

Каждое из этих выражений показывает, что рассеянный свет будет наблюдаться далеко в геометрической тени. Рассмотрим, например, случай черного экрана на рис. 98), когда наша функция и непосредственно, т. е. без добавления отражения, представляет оптическое состояние [ср. (5), § 1]. Падающая волна приходит из направления Первый лист поверхности Римана ограничен полупрямыми из которых на рисунке изображена только

так как лежит по ту сторону экрана (Риманова разреза). То, что формулы (15) и (15а) различны, показывает, что падающая волна имеется только в первом листе, представляет границу тени. Область "геометрической тени" на рисунке заштрихована. Там мы имеем лишь рассеянный свет, не только вблизи границы тени, но и до произвольных значений причем амплитуда его постепенно уменьшается согласно (17) и (17а) — без всяких максимумов или минимумов (диффракционных полос), характерных для других явлений диффракции. Этот рассеянный свет несколько раз наблюдался Вином в его диссертации и другими]; все это вполне соответствует тому представлению, которое составил себе Т. Юнг (1802) о сущности диффракции. Мэй обращает внимание на то, что уже первый исследователь диффракционных явлений, Гримальди, описал это явление и что его можно объяснить с помощью теории Френеля-Кирхгофа.

Рис. 98.

Наблюдаемый в геометрической тени свет кажется исходящим от рассеивающего края экрана. Сам край экрана для смотрящего и аккомодированного на него глаза кажется тонкой светящейся линией. Это значит, что глаз проделывает как раз ту названную нами недозволенной экстраполяцию, заключая по характеру света на больших расстояниях (асимптотическое приближение при о его характере при . Глаз делает это всегда, например, когда лучи идут по кривым линиям, а глаз заключает о происхождении луча, продолжая прямолинейно наблюдаемое направление лучей. В нашем случае удалось даже сфотографировать направление лучей в цилиндрической волне. А. Калашников укреплял булавки на фотографической пластинке, поставленной косо к направлению лучей, и при достаточно долгой экспозиции булавки отбрасывали тень в радиальном направлении.

Теперь мы должны рассмотреть границы тени где по уравнениям (17) и (17а) обращается, на первый взгляд, в бесконечность. Что наш способ недопустим в этом случае, видно сразу: делается, в случае бесконечной в одной из точек следовательно не будет медленно меняющейся функцией, и поэтому ее нельзя считать постоянной при нахождении седловой точки и при интегрировании [на рис. 97 полюс лежал внутри или вне путей интегрирования , смотря по тому, находились ли мы в тени или в освещенной области; между тем на границе этих областей полюс как раз совпадает с одной из седловых точек].

Прием, который нужно было бы применить в данном случае, получается из сказанного в конце 1 о способе Дебая для функций Ганкеля. Мы должны перенести в показатель и найти седловые точки функции

а также и наиболее удобный ход путей интегрирования вблизи этих точек. Тогда мы получили бы и в этом случае разумные асимптотические формулы и избежали бы бессмысленного обращения в бесконечность . Однако, мы воздержимся от осуществления этого плана, так как оно несколько сложно и так как в следующем пункте мы рассмотрим область границы тени гораздо проще.

Но мы должны еще обсудить случай волны, падающей косо на край экрана. [уравнение (14а), § 1]. Так как это уравнение только несущественно отличается от (10а), мы можем сейчас же написать по образцу (15) асимптотическое выражение для его решения. Для области внутри геометрической тени (которой мы можем ограничиться) мы имеем:

Здесь косинус угяа, под которым волна падает на край экрана (ось имеет то же значение, что и в (17). В то время как фаза падающей волны [(13а) § 1, при ] дается выражением

(плоская волновая поверхность), фаза рассеянной волны в геометрической теня будет, согласно (18):

Волновые поверхности рассеянного света будут круговые конусы с осью, совпадающей с краем экрана, а рассеянные лучи будут лежать на конических поверхностях, нормальных к первым. При переходе от этого случая к случай перпендикулярного падения, первые конические поверхности переходят в коаксиальные цилиндры, вторые вырождаются в плоскости, перпендикулярные к краю экрана.

При аккомодации на край экрана глаз видит освещенным только маленький отрезок края, ту область, где проходят попадающие в глаз конусы лучей. Наиболее ярко это явление может быть характеризовано словами Т. Юнга, что падающий свет отражается на отклоняющем крае. Это явление также можно наблюдать.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление