Главная > Физика > Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

4. Частный случай n=2.

Этот случай, особенно важный вследствие его применения в методе отражения, имеет то (формальное) преимущество, что в не комплексные интегралы могут быть сведены к хорошо исследованному интегралу Гаусса (он же интеграл Френеля), чем облегчается не только исследование границы тени, но и сравнение с классической теорией диффракции. К сожалению, указанное преобразование несколько искусственно.

Мы будем исходить из рис. 97 и уравнения (13) при и полежи на пути на пути причем нужно учесть отрица тельное направление интегрирования по Ограничиваясь сначала вторым листом, , получаем из (13)

и вычислим

вместо чего мы напишем сокращенно Путь в который переходит при подстановке делится точкой на две равные части; для половины, лежащей в отрицательно-мнимой полуплоскости, сделаем подстановку и получим, соединяя обе части вместе,

Выражение в скобках равно

Понимая под неразветвленную функцию плоской волны, составил выражение

а также

Интеграл справа берется в конечном виде и дает

Тогда

Мы можем проинтегрировать еще раз и получим:

где постоянная интегрирования С не зависит от Положим тогда так как слева (второй лист), а справа верхняя граница интеграла равна нижней

Следовательно

Но эта формула верна не только во втором, но и в первом листе, по правилам аналитического продолжения. Она ясно показывает общие свойства и, а именно: двузначность в обыкновенной плоскости однозначность на поверхности Римана конечность везде без исключения, равенство нулю в бесконечности второго листа переход в на бесконечности первого листа Выражение (19) удовлетворяет также общему соотношению (11), § 1.

С помощью (19) мы проверим наше асимптотическое выражение из предыдущего пункта сначала для второго листа. Считая большим отрицательным числом и интегрируя несколько раз по частям, имеем:

Это — типичный полусходящийся ряд. Оборвав его на первом члене, что вследствие большой величины всегда достаточно, и подставив в (19), получим:

а это в точности совпадает с (15) [ср. также (17а)].

Считая, с другой стороны, большим и положительным (первый лист), мы можем выполнить следующее преобразование:

Первый интеграл справа берется и дает для второго остается в силе полусходящееся разложение. Оборвав опять на первом члене и подставив в (19), получим:

т. е. учитывая (17а), в точности уравнение (15а).

Мы подошли теперь к переходной области между первым и вторым листами, которую мы назвали "границей тени". Она характеризуется условием мало или не очень велико", или Здесь можно было бы подумать о разложении интеграла по положительным степеням сходящемся в обычном смысле; однако оно — также, как ряды в 1, было бы пригодно только для таких малых I,

что практически этот способ отпадает. Поэтому нужно составить себе более общее представление о поведении интеграла (19).

Чтобы не расходиться с общепринятыми обозначениями, положим:

и назовем "интегралом Френеля". Вообще говоря, (21) осуществляет преобразование плоскости на плоскость будут прямоугольными координатами в плоскости Так как для нашей цели достаточно ограничиться вещественными значениями мы должны изучить только отображение вещественной оси в комплексной плоскости Это отображение представляется кривой в плоскости называемой "спиралью Корню" (Cornu), которая представлена на рис. 99.

При преобразовании, следующие точки, очевидно, соответствуют друг другу: точке точка

есть точка перегиба с горизонтальной касательной здесь имеет место приближенное соотношение Преобразование сохраняет длину отрезков, так как

Сопоставление осуществляется простым разворачиванием спирали на вещественную ось Уже отсюда следует, что длина опирали бесконечна, что предельные точки достигаются только асимптотически (после бесконечного числа оборотов). Более точные результаты дает вычисление касательной к кривой Назовем а угол между касательной и осью С, тогда

Таким образом, с возрастанием 0, касательная все время вращается в одном направлении; для мы имеем спиральный ход кривой.

Наш интеграл в выражении (19) отличается от (21), если отвлечься от выбора нижнего предела, только заменой на и другим обозначением переменной интегрирования. Оба обстоятельства оставляют форму спирали без

изменения. Нижний предел в (19) мы учтем тем, что составим рааность Тогда получаются выражения, тождественные с (19), а именно:

Здесь обозначает расстояние в плоскости между "очкой на спирали Корню и нижней предельной точкой. Поэтому амплитуда света прямо измеряется этим расстоянием, умноженным еще на некоторый множитель, зависящий от масштаба чертежа и от интенсивности падающего света.

Рис. 99.

Возвращаясь в рис. 98, представим себе, что "отклоняющим" экраном например, параллельно ему, поставлен второй "воспринимающий" экран. Проследим интенсивность на последнем, двигаясь из геометрической тени к границе ее и дальше в освещенную область. Этому соответствует возрастание от через до Радиус-вектор на рис. 99 (от нижней предельной точки к переменной точке сначала медленно возрастает, без всяких максимумов или минимумов. Такое положение характеризует геометрическую тень. Когда приближается к нулю, радиус-вектор возрастает быстрее, пока не достигнет значения которое он принимает для т. е. в продолженном направлении волны.

Здесь Возрастание продолжается до первого максимума, который отмечен на рисунке значком затем пробегает спиральную часть кривой радиус-вектор уменьшается до первого минимума на рис. 99), затем опять возрастает и т. д. Разница между двумя последовательными максимумом и минимуном постоянно уменьшается, радиус-вектор асимптотически приближается значению расстоянию обеих предельных точек; этому соответствует, югласно (22),

На рис. 100 представлен соответствующий ход интенсивности Так как амплитуда на границе тени равна половине амплитуды падающей волны, интенсивность там равна только четверти падающей интенсивности. Появление

максимумов и минимумов в освещенной области объясняется внтерференцией падающего и рассеянного света (расходящейся от края экрана цилиндрической волны). Отсутствие максимумов и минимумов в геометрической тени происходит потому, что там имеется только цилиндрическая волна.

Наблюдению доступны лучше всего те максимумы и минимумы, которые лежат ближе к границе тени. Бели мы имеем дело с "блестящим" экраном (а не с черным), то к падающей волне присоединяется еще отраженная, которая представляется формулой, аналогичной (19), с соответствующей границей теин. Максимумы и минимумы можно обнаружить также и в окрестности этой новой границы (т. е. перед экраном).

Рис. 100.

Как обобщается наш способ на случай видно из упомянутой на стр. 863 работы Рейхе [(Ann. d. Phys 37, 131, 1912) ]. В этом случае для каждого листа поверхности Римана нужно составлять свою величину, аналогичную производные от этих величин по выражаются точно с помощью функций Ганкеля порядка — Особое положение случая основано на том, что "полуцелые" функции Ганкеля выражаются черег показательные функции, как мы уже видели в и как мы покажем подробнее в § 4, (9) и (12).

Качественно случай не отличается от Мы можем обращаться к рис. 100 также и для представления плоской волны на раз перекрытой поверхности Римана.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление