Главная > Физика > Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 3. Сравнение с классической теорией диффракции (Френель-Кирхгоф)

Как было замечено в начале § 1, классическая теория диффракции Френеля и Кирхгофа обладает необычайной способностью приспособляться в самым сложным условиям (решетка, отверстие произвольной формы и т. д.). Она представляет практически совершенное и идеально работающее орудие, к которому постоянно будет обращаться физик-экспериментатор при исследованиях в области оптических измерений (при достаточно малых X). Мы даем здесь очерк теории Кирхгофа в упрощенной и отчасти уточненной форме.

1. Теорема Грина и функция Грина.

Если две произвольные скалярные функции, обладающие надлежащими свойствами непрерывнооти в пространстве интегрирования V, если - элемент поверхности, ограничивающей это пространство, а — линейный элемент внешней нормали к этой иоверхности, то теорема Грина гласит:

Предположим, что и равно функции шаровой волны стр. 852]:

равно одной не прямоугольных составляющих искомого поля (точнее, равно одной из комплексных прямоугольных составляющих потенциала, описывающего поле, стр. 850). Пусть экран будет плоским; диффракционное отверстие тогда тоже можно считать плоским. Плоскость составленная из экрана и отверстия, пусть образует границу пространства интегрирования. Источник света Q (особая точка функции пусть находится по одну сторону от точка наблюдения О — по другую (эта сторона на рис. 101 заштрихована). Пусть обозначает расстояние от точки О до той точки по координатам которой интегрируется. Так как удовлетворяют волновому уравнению (12), стр. 812, правая сторона (1) будет равна нулю, если исключить из области интегрирования окрестности точки О, окружив эту точку шаром К с радиусом С правой стороны интегрирование распространяется на плоскость и шар К. Интегрирование по К дает величину взятую для центра О шара К, и мы получим:

Рис. 101.

При обычной трактовке диффракционной задачи принимается, что:

a) на экране (именно, на его задней стороне) ;

b) в диффракпионном отверстии равны значениям этих величин при невозмущенном распространении света, т. е. в отсутствие экрана.

Эти предположения связаны с математическими трудностями 1). Если бы условие а) было выполнено на каком-нибудь конечном участке плоскости то оттуда следовало бы с необходимостью (как для уравнения так и для что везде тождественно равно нулю. Точно так же из следует, что везде (также и непосредственно за экраном) равно невозмущенной функции. Оба результата бессмысленны. Очевидно, что этот способ следует считать лишь приближенным. Если мы подставим в (3) хотя и приближенные, но противоречивые граничные значения а) и то получим функцию которая, хотя и удовлетворяет точно волновому уравнению, но только приближенно—граничным условиям.

Возникшие эдесь математические трудности мы можем однако смягчить следующим образом: положим, и равно не функции шаровой волны, а функции Грина для нашего полупространства

исчезающей на Для этого нужно отразить точку О в плоскости (изображение пусть будет см. рис. 101) и понимать под расстояние от О до Тогда из (1) получается, в силу равенства на вместо (3) следующее выражение:

Так как исчезло из нашего уравнения, мы должны для вычисления (3) сделать те или иные предположения только для Это можно сделать, не впадая в математические противоречия, следующим образом:

а) на обратной стороне экрана положим v = 0;

b) в отверстии мы положим равным невозмущенной падающей волне. В противоположность выражению (3) с условиями а) и функция, заданная выражением действительно принимает граничные значения а) и по теории функции Грина. Конечно, и условия а) и тоже не точны физически. На самом деле даже непосредственно за экраном будет рассеянный свет, так что нам нельзя без дальнейших рассуждений брать (по крайней мере, не для всех составляющих светового вектора). Присутствие экрана на самом деле влияет и на распределение света в отверстии (по крайней мере, на расстояниях порядка длины волны), так что и условие не точно. Следовательно, и в таком виде наш способ имеет, в физическом отношении, лишь приближенный характер.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление