Главная > Физика > Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

4. Диффракции от шара. Коллоидальные частицы.

Пусть плоская падающая волна распространяется по направлению в, причем

и пусть электрическое поде поляризовано по направлению оси х, а значит, магнитное поле поляризовано по направлению оси у. Отбросив временной множитель и учитывая уравнение (15), положим:

Этому соответствуют полярные составляющие:

Пусть на пути падающего света находится шар из произвольного вещества. Чтобы сделать более наглядными формулы для рассеянного света, вернемся к уравнению (18) стр. 841 и будем считать стоящий там вектор Герца направленным по радиусу

Тогда, вычисляя и в полярных координатах, получим:

При этом должны удовлетворять дифференциальному уравнению (19) стр. 842

Рассмотрим сначала в этом уравнении составляющие по направлениям Вследствие мы получим

Далее, радиальная составляющая выражения (25) будет

Написав здесь и разделив на получим:

Выражения (24) переходят теперь в следующие:

Однако, поле, даваемое этими выражениями, получается частного вида, так как здесь в противоречие с Мы поэтому дополним выражения для поля другим решением, в котором Такое решение дают уравнения (21) стр. 842. Считая новый вектор Герца опять радиальным вектором, мы теперь получим:

Уравнение (25), которое и теперь сохраняет силу, если в нем заменить на , определяет таким же образом, как и раньше, именно:

а уравнения (29) переходят в следующие:

Мы сначала составим потенциалы соответствующие падающей волне, для чего сравним составляющие в выражениях (28) и (30) с выражениями (22а), Последние мы напишем, пользуясь (16), следующим образом:

Тут мы приняли во внимание соотношения между первыми присоединен ными шаровыми функциями и зональными шаровыми функциями (полиномами Лежандра):

Из (31а) и (28) следует тогда:

Так как и удовлетворяет уравнению (27), вевде конечно и, по (32), пропорционально то мы возьмем для него, припоминая (6) и (9), такое выражение:

Подставив это в (32) и приравнивая коэффициенты, заключаем:

Но по уравнению (7) коэффициент при слева равен а поэтому

Аналогичное рассуждение, примененное в уравнениям (30) и ведет к следующему выражению для

причем оказывается, что как в (33). Таким образом, потенциалы и падающей волны будут:

Для того чтобы подчеркнуть, что падающая волна существует только вне шара, вдесь написано вместо k.

При получении для падающей волны мы пользовались только соста вляющими Остальные составляющие получаются с помощью

суперпозиции (наложения) величин, заданных уравнениями (28) и (30): То, полученные значения будут совпадать с (22а) и (22b), понятно само собой, если принять во внимание дифференциальные соотношения между этими составляющими. Но можно это показать и непосредственно, если воспользоваться соотношениями между шаровыми функциями.

Теперь мы можем написать решение нашей задачи. Оно составляется аддитивно из обеих величин и Функция и должна иметь вид:

В самом деле, из частных решений (9) для области внутри шара можно взять только вне шара — кроме падающей волны — только Множитель в рассеянной и в проходящей внутрь шара волне добавлен для упрощения формул и, конечно, не ограничивает общности предположения.

Для определения стоящих в выражении для и коэффициентов и служат граничные условия на поверхности шара а.

а) Непрерывность и т. е., согласно (28), непрерывность это дает

в) Непрерывность , т. е., согласно (28), непрерывность и, отсюда:

Эти уравнения определяют и Наиболее общее выражение для имеет тот же вид, что для и [в уравнениях (35а) и должно теперь стоять вместо но постоянные в граничных условиях другие, и поэтому для получаются несколько отличные значения.

Мы не будем выписывать здесь так как мы должны воздержаться от более детального обсуждения решения и отсылаем поэтому к работе Разумеется, эти формулы непосредственно применимы только к достаточно малым частицам (а X). Как раз такие частицы мы имеем в коллоидальных растворах серебра и золота. Теория приобретает особенный физический интерес, в виду возможности объяснения замечательных цветов этих растворов. Для больших частиц (капли воды, радуга) мы должны перейти к интегральным выражениям, похожим на те, которые мы будем выводить в задачах беспроволочной телеграфии (гл. ХХIII, § 4) для случая земного шара.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление