Главная > Физика > Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

ГЛАВА XXI. СОПРОТИВЛЕНИЕ ДЛЯ ПЕРЕМЕННЫХ ТОКОВ И СКИН-ЭФФЕКТ

В этой и следующих главах мы будем заниматься, главным образом, процессами, происходящими на границах проводников и непроводников. Свойства проводников и непроводников будут при этом задаваться не атомистически в смысле электронной теории, а феноменологически в смысле первоначальных уравнений Максвелла [гл. XIX, (I-VI)]. Проводимость а мы будем считать конечной, т. е. не будем делать перехода к предельному случаю идеального проводника, как в § 1 предыдущей главы.

В основной части этой главы мы будем вычислять даже не по максвелловской, а по домаксвелловской теории, пренебрегая током смещения по сравнению с током проводимости. Начнем, однако, с полных, неискаженных уравнений Максвелла.

§ 1. Распределение в проводящей плоскости

1. Симметрия задачи и строгое интегрирование.

Сначала поставим еебе на первый взгляд не интересную, чрезвычайно идеализованную задачу, которая, однако, важна как введение также и для последующих глав. Пусть наше пространство будет наполовину воздух наполовину металлический проводник так что новерхность раздела плоская. Поле пусть не зависит от одной из координат (скажем ), чисто периодически зависит от времени и имеет характер водны, распространяющейся по направлению х. В области мы имеем в области мы будем вычислять с общими значениями Последнюю область мы можем рассматривать как предельный случай провода, радиус которого делается бесконечно большим. Мы имеем два возможных решения уравнений Максвелла, противоположной симметрии, так как на стр. 842, а именно:

Нас здесь интересует только первое решение, так как только оно соответствует предельному случаю провода, по которому протекает переменный ток. Ввиду независимости поля от при обоих предположениях три из шести уравнений Максвелла и удовлетворяются тождественно: в случав первое и второе из уравнений и третье уравнение и в случае третье из уравнений и первое и второе уравнения

В случае мы возьмем комплексное выражение:

соответствующее временной периодичности и распространению в направлении х. Здесь есть постоянная, функция одного у. Для вычисления

воспользуемся полученным из уравнений Максвелла волновым уравнением (12) стр. 812, которое дает для Н:

Постоянная есть волновое число (число волн на единиц длины), соответствующее распространению вдоль поверхности проводника, а постоянная к волновое число, соответствующее свободному, не связанному ни с какой поверхностью раздела распространению волн в проводнике (или в непроводнике). Мы можем также сказать: относится к "поверхностным" волнам, "объемным" волнам.

Для возьмем аналогичные выражения:

как функции от у, определяются из уравнений Максвелла :

Стоящие справа выражения получаются из написанных слева путем умноження на и подстановки значения из (2). Из (4) непосредственно следует, что удовлетворяется также и уравнение Максвелла которое для чисто волнового процесса, т. е. в отсутствии истинных зарядов (электростатических полей), переходит в или если считать в постоянным. Уравнение (2) интегрируется следующим образом:

Раньше, на стр. 812, мы уславливались брать к с положительной мнимой частью; подобно этому условимся сейчас, что из обоих значений следует брать то, которое имеет положительную мнимую часть. Из этого следует, что мы должны взять:

чтобы и для не делалось бесконечно большим. Для того чтобы удовлетворялось условие непрерывности (4) стр. 809, не обращающиеся в нуль значения должны быть равны друг другу; пусть они будут равны С. Мы напишем поэтому

здесь обозначает, согласно (2), величину к для непроводника. Теперь из (4) следует:

Таким образом, электрическое поле определено нами полностью, за исключением величины С, которая остается неопределенной по самой своей природе и зависит от интенсивности возбуждения и волнового числа Для определения последнего, мы имеем как раз еще одно уравнение — именно, условие непрерывности при переходе через поверхность раздела [уравнение (4) стр. 809]. Из (7а) и мы выводим, сначала для частного случая

или, проще, после совращения общего множителя,

общем случав мы будем иметь вместо этого

или

Вычислим еще полный ток в проводнике по направлению х, проходящий сквозь поперечное сечение полосы, ширина которой в направлении равна единице, а длина в направлении у бесконечна. По уравнению мы получим (в комплексном виде):

Подставим вместо его значение из (2) и перейдем, при помощи уравнений (2) и (3) стр. 809, от нашего тока измеренного в электрических единицах, к току измеренному в условных магнитных единицах. Мы будем иметь:

Множитель справа ложно положить равным при условии, что в выражении (2) можно пренебрегать величиной относительно (током смещения по сравнению с током проводимости), что, вообще говоря, можно делать для металлов. Тогда

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление