Главная > Физика > Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2. Исследование поля.

а) Большая проводимость. Для металлического проводника особенно для малых частот Поэтому, согласно (8а) или мы имеем Исследование ноля в этом случае очень просто. Так как показатель в выражении (1) или (3) будет:

Следовательно, поле распространяется в направлении «со скоростью. а и без затухания. Вместе с тем,

Следовательно, силовые линии электрического поля стоят перпендикулярно к поверхности проводника. Электрическое поле и магнитное имеют везде одинаковую величину, т. е. нет никакого убывания ноля при удалении от поверхности проводника наружу.

Внутри проводника поле убывает очень быстро и тем быстрее, чем больше проводимость. Именно, из (7) следует, вследствие

Мы можем написать

В самом деле, так как порядка единицы, можно пренебречь первым слагаемым в выражении (2) для по сравнению со вторым, на том же основании, на каком мы пренебрегаем по сравнению с Наконец, где отагп обозначает проводимость, измеренную в обычных (условных магнитных) единицах. Поэтому мы можем еще написать, вместо (12),

Здесь обозначает число колебаний в секунду. Вследствие этого, показательная функция в выражении (11) переходит на глубине

Таким образом, при перемещении в глубину на расстояние

амплитуда ноля уменьшается в раз и в то же время фаза отстает на один радиан, т. е. на Это явление называется, как известно, скин-эффектом. Понятие о численных соотношениях для меди дает следующая таблица:

В последнем случае весь переменный ток концентрируется в тонком слое на поверхности проводника, как показано на рис. 104. Для железа, для которого о в шесть раз меньше, но зато у. в 600 раз больше, чем для меди, скин-эффект выражен еще более резко (именно приблизительно в 10 раз меньше).

Поверхность проводника будет заряжена. Плотность заряда можно вычислить на основании уравнения (5) стр. 809 по скачку на поверхности. Из (10) и (11) получается, если опять пренебречь по сравнению с к, следующее выражение:

т. е. в случае большой проводимости заряд также бежит вдоль поверхности со скоростью света.

b) Средняя Проводимость. Когда величиной нельзя совершенно пренебречь по сравнению с к, мы можем произвести в уравнениях (7) и (8) разложение по степенямпричем мы ограничимся здесь первым членом разложения

Из следует:

где введено сокращенное обозначение

Показатель в выражениях (1) и (2) теперь будет

Волна распространяется в направлении х с затуханием и со скоростью, отличной от скорости света

Далее, из следует, что

есть комплексная величина. Так как по определению [уравнения (2)], лежит в первом квадранте комнлексной плоскости, к должно лежать в первом или третьем, а и четвертом или во втором квадранте. Так. как мы условились брать с положительной мнимой частью, мы должны взять для то из двух возможных значений, которое лежит во втором квадранте. Положим например, будет тем меньше, чем больше по сравнению с уравнения (6) и (7) показывают теперь, что в воздухе поле не будет уже назависимым от у, но что оно (при малом медленно) уменьшается при удалении от поверхности проводника. Внутри проводника ноле и теперь очень быстро убывает, так же как в случае а).

Рассмотрим ближе положение электрических силовых линий у поверхности проводника, . При этом безразлично, какое значение х мы будем рассматривать, так как волновой процесс распространяется вдоль оси х без изменения формы [если отвлечься от вычисленного в (14) затухания].

Рис. 108а.

Рис. 108б.

Положим поэтому Очевидно, мы. можем, кроме того, взять Из следует тогда с достаточным приближением следующее выражение для поля с непроводящей стороны поверхности (мы перешли здесь от комплексных величин к вещественным):

Эти уравнения поясняются рис. 103а. Обе составляющие электрического ноля представлены в виде координат изменяется между между Точка описывает эллипс, вписанный в прямоугольник Для будет (точка О на рисунке), для Эллипс пробегается в направлении, указанном стрелкой. Прямая, соединяющая центр с мгновенным положением точки даст мгновенное направление электрического вектора ("вращающееся поле"). Среднее положение электрического вектора, заданное большой осью эллипса, уже не перпендикулярно к поверхности проводника, а наклонено вперед, в направлении распространения (по положительной оси Конечно, за время одного нериода будет момент, когда силовые линии стоят как раз перпендикулярно к поверхности, также и такие, когда они направлены как раз по касательной. С возрастанием к (уменьшение прямоугольник и эллипс делаются все уже и уже. Поле все больше приобретает характер чисто переменного и устанавливается преимущественно перпендикулярно к поверхности как в предельном случае а).

Для проводника, в непосредственной близости от поверхности если мы опять возьмем мы получим по с достаточной точностью:

Если обозначает малое вещественное число, а угол, несколько меньший мы можем написать

Далее мы можем положить:

Для представления электрического вектора в проводнике, мы имеем в координатах следующие уравнения:

Они опять представляют эллипс, большая ось которого повернута немного в сторону от направления оси X (рис.

Малая ось будет тем меньше, чем больше проводимость. В предельном случае, когда силовые линии вне проводника стоят перпендикулярно к поверхности, эллипс в проводнике вырождается в прямую, параллельную поверхности. Однако, в общем случае поле не будет прямолинейно-колебательным, а будет иметь вращательный характер. Если в проводнике можно пренебречь величиной но сравнению с оси эллипса совпадут с осями х и у.

Рис. 104.

Рис. 104 показывает, в очень схематизованном виде, среднее положение электрического вектора в воздухе и в проводнике, по отношению к направлению распространения волны (горизонтальная стрелка на рисунке). Рисунок показывает ясно, что распространение волн происходит, собственно, в непроводнике и что силовые линии в проводнике тащатся сзади, как в вязкой среде.

Кроме того, на рисунке показано схематически уменьшение амплитуды переменого тока в проводнике (скин-эффект).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление