Главная > Физика > Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

3. Сопротивление переменному току.

Элементарное определение сопротивления (длина, деленная на поперечное сечение и на проводимость) разумеется в нашем случае не пригодно. Вместо него введем энергетическое определение.

Мы обозначали через [уравнение (VI) стр. 809] джоулево тепло на единицу объема, а теперь обозначим через

среднее по времени от джоулева тепла, выделяющегося в столбике, перпендикулярном к поверхности проводника, с основанием в и высотой Сопротивление В мы определим по аналогии с постоянным током, при помощи соотношения

где обозначает среднее по времени от квадрата полного тока в смысле уравнения (9) [т. е. квадрат эффективного тока, уравнение (19), стр. 813]. Мы получим В в обыкновенных магнитных единицах ома), если будем измерять в этих же единицах.

Чтобы проще всего найти мы будем исходить из теоремы Пойнтинга [уравнение (7), стр. 810]. Эта теорема дает, при усреднении по времени, для введенной сейчас величины выражение

где справа нужно интегрировать по поверхности нашего столбика и усреднить по времени. Поверхность столбика состоит из трех частей: двух параллельных плоскостей, перпендикулярных к оси двух параллельных плоскостей, перпендикулярных к оси х, и площадки, перпендикулярной к оси у. Поток энергии вследствие симметрии поля, направлен всюду перпендикулярно к оси так что плоскости во всяком случае не дают ничего. Но и обе плоскости вместе дают нуль, по крайней мере, если мы возьмем предельный случай большой металлической проводимости (ср. 2а).

В этом случае, как мы видим, поле в направлепип х чисто периодическое вещественно и равно поэтому через одну из плоскостей входит такой же поток энергии, какой через другую выходит, по только в другое время. При усреднении по времени, оба потока взаимно уничтожаются. Остается только верхняя площадка Здесь так как нормаль считается положительной наружу.

Уравнение (18) дает тогда

но

и но уравнению (17) стр. 813

Здесь надо заметить, что усреднение по уничтожает также зависимость от х, так как х входит только в комбинации — вещественно). По уравнениям (6) и (7а) (мы можем считать С вещественным), для будет

Таким образом,

Затем мы получим из но правилу (18) стр. 813 в условных магнитных единицах, в которых мы хотим вычислить также и

Поэтому из (17) следует:

Но согласно (15) и (12а) мы имеем:

Здесь надо взять нижний знак, чтобы) имело, как условлено, положительную мнимую часть. Из (20) и (20а) окончательно получается

Мы лучше вникнем в смысл этого выражения, если сравним его с глубиной проникновения тока в проводник при скин-эффекте. вычислялось на единицу длины в направлении тока и для "поперечного сечения", ширина которого (в направлении ) равна единице, а глубина (в направлении равна Однако глубина из-за скин-эффекта не используется.

Если мы обозначим эффективную глубину через т. е. возьмем поперечное сечение то обычная формула для сопротивления даст в нашем случае

а это в точности совпадает с (12), если мы возьмем для вычисленное выше значение (13а). Наша формула для сопротивления (21) представляет поэтому непосредственное следствие окучивания линий тока у поверхности проводника. Сопротивление растет с возрастанием частоты и магнитной проницаемости, так как одновременно уменьшается эффективное поперечное сечение проводника. При частоте нуль (постоянный ток), когда току предоставлено все большое поперечное сечение проводника, сопротивление будет, разумеется, равно нулю.

Если мы перейдем от сечения ширины 1 к сечению ширины если мы будем рассматривать призматический кусок проводника длины 1 в направлении х, ширины в направлении и глубины в направлении у, мы получим сопротивление которое вычисляется из (21) следующим: образом:

Мы еще вернемся к этой формуле в следующем параграфе.

Мы могли бы вместо энергетичеекого взять электродинамическое определение сопротивления. Положим, как обычно,

где -электродвижущая сила (линейный интеграл электрического поля вдоль поверхности проводника), (внутренняя) самоиндукция. Если мы применим это уравнение к единице длины оси х, мы получим Подставим в (23) значение из (7а) (пересчитав его в обычные магнитные единицы и взяв его для и значение из Эти величины равны

Тогда уравнения (23) и (20а) дают:

Этим путем мы получаем одновременно сопротивление и самоиндукцию, причем первое получается в согласии с (21).

Заметим еще, что и самоиндукцию можно было бы вычислить энергетически по уравнению

а именно: "внутреннюю" самоиндукцию из магнитной энергии проводника и "внешнюю" по энергии воздушного пространства. гл. XVIII § 2, (6)]. Мы вернемся в этому в следующем параграфе.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление