Главная > Физика > Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 2. Провод с круговым сечением при низких и высоких частотах

1. Переменное поле с круговой симметрией.

Пусть радиус кругового поперечного сечения будет а; ось провода мы примем за ось х. В плоскости поперечного сечения введем полярные координаты. Электромагнитное поле, соответствующее протекающему в проводе переменному току, имеет цилиндрическую симметрию вокруг оси х, т. е. для всех составляющих поля мы имеем:

Магнитные силовые линий имеют вид кругов вокруг оси провода, электрический вектор лежит в меридианных плоскостях, проходящих через эту ось. Положим соответственно случаю (А) стр. 903:

Обратное предположение соответствовало бы магнитному переменному току и будет в известном смысле реализовано в задаче о катушке, рассмотренной в следующем параграфе.

Мы выпишем только те составляющие уравнений Максвелла, которые не удовлетворяются тождественно нашими выражениями причем напишем их в полярных координатах. Нам нужны прежде всего выражения для составляющих вихря

Мы имеем, например:

Только вторая из этих трех составляющих отлична от нуля. Поэтом; Максвелловские уравнения стр. 808, сводятся к одному:

и соответственно, уравнения к двум:

Положим, как и в предыдущем параграфе:

считая процесс чисто периодическим во времени и имеющим характер волны, распространяющейся по оси х. Величины зависят тогда от одного

В чисто волновых процессах следует считать заряд внутри однородной среды равным нулю. Уравнение стр. 808 дает поэтому, если припомнить выражение для расходимости в полярных координатах:

Уравнение стр. 808 удовлетворяется само собой.

Величина как прямоугольная составляющая, удовлетворяет волновому уравнению вида (12) стр. 812. Это даст для обыкновенное дифференциальное уравнение:

После подстановок оно принимает вид:

Сравнение с (2) стр. 865 показывает, что интегралом уравнения (5а) будет цилиндрическая функция нулевого порядка, т. е. одна из функций

В этой главе мыограничимся областью внутри проводника. Более трудные соотношения во внешней области мы рассмотрим в еле дующей главе. Внутри проводника мы можем взять из частных решений (6) только то решение, которое остается конечным при т. е. функцию гл. XX, § 4, 1. Вследствие этого мы необходимо получим:

Чтобы найти лучше всего исходить из условий (4). Оно дает, если воспользоваться дифференциальным уравнением (5):

Отсюда следует, без ограничения общности:

Наконец, из находим:

Таким образом, поле определено полностью, за исключением двух постоянных Первая остается неопределенной по своей природе, как мера интенсивности возбуждения, вторая может быть определена только в связи с полем вне проводника при посредстве граничных условий. Ими мы будем подробно заниматься в следующей главе. Пока же заметим, что из рассуждений предыдущего, параграфа [например, уравнения (14)], вытекает, что будет того же порядка, как и волновое число в непроводнике.

Это обстоятельство приходит нам на помощь при нашей теперешней точке зрения. Именно, мы можей пренебречь величиной но сравнению с и получить для наиболее интересных для нас величин и из (7) и (9) не зависящие от выражения

Напротив, мы сможем высказать что-нибудь определенное об только тогда, когда решим задачу полностью, учитывая окружающий непроводник.

Вычислим еще полный ток путем интегрирования по поперечному сечению провода:

Интеграл справа легко берется. Из дифференциального уравнения (5а) для цилиндрических функций нулевого порядка следует

так что

Подставив сюда получим

отсюда

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление