Главная > Физика > Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

3. Сопротивление и самоиндукция провода.

Возьмем электродинамическое определение сопротивления и самоиндукции, уравнения (23), § 1. Электродвижущая сила на поверхности провода на единицу его длины будет, согласно (10), в обыкновенных магнитных единицах

Ток, измеренный в тех же единицах, будет, по формуле (13),

В обеих формулах опущена зависимость от Уравнение, определяющее электродвижущую силу

дает

Сравним это с сопротивлением единицы длины провода для постоянного тока

Мы получим

Вместо этого часто пишут

В самом деле, между функциями Весееля существует соотношение как легко видеть из их представлении в виде рядов или в виде интегралов (5), стр. 867.

Рис. 106.

При исследовании (19) мы должны опять различать два крайних случая:

В первом предельном случае мы имеем почти постоянный ток; следовательно, здесь должно переити в 1, а в 0. Во втором случае мы имеем ярко выраженный скин-эффект. Ток течет в тонком поверхностном слое, кривизной которого можно пренебречь по сравнению с его толщиной. Мы имеем, следовательно, те же соотношения, что и для плоского проводника, именно для слоя шириной Для такого слоя сопротивление дается выражением (22), а случаем оттуда

где у. есть величина (14а). Эта формула была] впервые выведена лордом Рэлеем (Rayleigh) для очень быстро переменных токов. Для этого случая, как мы сейчас покажем,

Если откладывать (рис. 106) по оси ординат сопротивление и самоиндукцию, по оси абсцисс величину х, то случай будет представлен прямой параллельной оси абсцисс и проходящей на расстоянии, 1 от нее (для кривой сопротивления для самоиндукции он будет представлен самой осью абсцисс. Напротив, случай (для обеих кривых) будет представлен прямой, проходящей через начало под углом в 45° к оси абсцисс. Кривые сопротивления и самоиндукции должны укладываться между этими граничными линиями. Мы покажем это более подробным исследованием формул (19) и (19а).

a) Согласно уравнению (15), мы имеем, если положим

а, значит согласно (19)

Для отделения вещественной части от мнимой, напишем

мы получим:

Кривая сопротивления касается прямой как парабола четвертого порядка, кривая самоиндукции — оси абсцисс, как парабола второго порядка.

b) . Здесь мы должны применить асимптотическую формулу стр. 870. По уравнению (19) непосредственно получаем:

Это отвечает рэлеевской формуле сопротивления и асимптотическому приближению к прямой на рис. 106.

Разумеется, эти результаты можно вывести и на основании энергетического определения сопротивления и самоиндукции.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление