Главная > Физика > Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

3. Сопротивление и самоиндукция катушки.

Мы будем исходить из электродинамического определения уравнение (23), § 1, и подставим туда для значение (8), для значение из (12) при Тогда получится

Рис. 108.

Здесь по формуле (4)

если положить

Знаменатель в (15) будет тогда иметь вид:

Умножив числитель и знаменатель на сопряженную с этим величину, получим:

или, вводя тригонометрические и гиперболические функции:

Перейдем сначала к случаю постоянного тока мы будем иметь

Поэтому будет

Рассмотрим опять два предельных случая:

a) х мало. Разлагая в ряды числитель и знаменатель в например:

получим:

b) х велико. Можно пренебречь по сравнению с и мы получим из

Это поясняется рис на 109, на котором в качестве абсциссы нанесена величина

Еривая начинается как парабола четвертого порядка у прямой параллельной оси абсцисс, и приближается, колеблясь, к прямой Точно так же и кривая которая начинается у оси абсцисс как парабола второго порядка. Обе кривые пересекаются в точках, лежащих на равном расстоянии одна от другой.

Рис. 109.

Сравнивая рис. 109 с подобным ему рис. 106, следует обратить внимание на то, что теперешняя абсцисса [уравнение (19)] будет в известном смысле в четыре раза больше, чем прежнее х [уравнение (20) стр. 917], если сопоставлять толщину катушки с диаметром провода 2а. В этом смысле уравнение дает вчетверо большее сопротивление, чем уравнение (22) стр. 918 для прямого провода. Это увеличение сопротивления легко объясняется менее благоприятным распределением тока (скучиванием линий тока на внутренней стороне катушки) по сравнению с равномерным распределением по окружности прямого провода. Долежалек, установивший впервые это увеличение сопротивления экспериментально, стремился избежать его, употребляя крученые (витые) провода, состоящие из мелких проволок, чем достигалось более полное использование сечения катушки.

В то время как наши формулы (18а, b) хорошо воспроизводят качественные соотношения, мы не должны особенно полагаться на численные значения коэффициентов. Последние зависят от действительной формы поперечного сечения и от величины хода витков, которым мы пренебрегли. Точный учет этих факторов очень сложен. Для кругового сечения и плотной намотки (ход витка диаметру провода нашей величине вместо (18а), получится

С другой стороны, при очень больших частотах сопротивление получается не в 4 раза, как по а только в 3,4 раза больше, чем для пряного провода. В случае высоких частот для представления магнитного поля необходимо пользоваться эллиптическими модулярными функциями [именно, преобразованием (вырожденного) кругового треугольника в полуплоскость].

Задача о катушке разобрана в гораздо более общем виде Ленцем. Он выводит также формулы для практически важных собственных частот катушки.

ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление