Главная > Физика > Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

ГЛАВА XXII. ВОЛНЫ ВДОЛЬ ПРОВОДОВ

В опытах Генриха Герца, наряду с распространяющимися в свободном пространстве пространственными волнами, решающую роль играли бегущие вдоль проводов "поверхностные" электромагнитные волны: Герц ожидал, что скорость этих волн будет равна скорости света с или в диэлектрике но сначала не мог подтвердить этого ни экспериментально, ни теоретически. Причиной его экспериментальной неудачи было возмущающее действие стен лаборатории, причиной непригодности его теории чересчур большая идеализация задачи: он рассматривал провод как бесконечно тонкий, и не мог поэтому поставить никаких электромагнитных граничных условий. Эти последние играют главную роль при вычислении скорости поверхностных волн и дают, как мы увидим, значение этой скорости, практически равное с, но, строго говоря, немного меньшее с.

Экспериметальные трудности были преодолены, как известно, Лехером, который брал вместо одного, два параллельных провода, таким образом, что электрические силовые линии выходили из одного провода и кончались на другом. Таким образом, поле концентрировалось, и помехи от окружающих предметов исключались.

Теоретическое исследование Лехеровской системы является, если мы не хотим довольствоваться квазистационарным приближением, гораздо более сложным, чем строгая теория одного провода 4). Поэтому мы обратимся сначала к этой последней.

§ 1. Поле и распространение волн вдоль проводов

Пусть провод будет прямой и бесконечно длинный, его поперечное сечение — круглое и постоянной величины. Возьмем за ось х ось провода, а в плоскости его поаеречного сечения введем координаты Задача имеет ту же симметрию, что и разобранная на стр. 912. Симметрия эта характеризуется условиями рассмотренного там же случая Таким образом, магнитные силовые линии имеют вид кругов с центрами на оси провода, электрический вектор лежит в

меридиональных плоскостях, проходящих через эту ось. Все составляющие поля не зависят от а.

Рассмотрим процесс, чисто периодический по времени, соответствующий распространяющейся вдоль провода волне. Положим, как на стр. 913.

Постоянная будет одна и та же внутри и вне провода. Она определяет распространение волиы в направлении х. Поле внутри провода нам известно [см. уравнения (7), (8), (9), стр. 913]. Найдем поле вне провода, причем начнем с величина удовлетворяет волновому уравнению (5) стр. 913 [ср. также (2) стр. 904] со значением постоянной к, равным

В саном деле, вне провода мы можем взять . Как сказано на стр. 913 относительно частных решений волнового уравнения, оно интегрируется в цилиндрических функциях с аргументом

Условимся еще раз брать квадратный корень с положительной мнимой частью, если он комплексный, и положительным, если он вещественный. Покажем, что из трех приведенных на стр. 913 частных решений нам надо брать только одно, а именно причем нужно рассматривать только главную ветвь этой функции. Если квадратный корень комплексен, это следует из условия убывания поля на бесконечности; в самом деле, по асимптотическим формулам (8) стр. 869, оба другие решения обращаются в бесконечность при Если корень вещественный, то это следует из условий отсутствия радиальных волн, сходящихся к проводу из бесконечности (отсутствие источников энергии на бесконечности). Это видно из тех же асимптотических формул (8) стр. 869, согласно которым только имеет вид:

соответствующий (если иметь в виду множитель расходящейся волне. Мы положим поэтому, отбросив верхний значок

Величины и получаются теперь, точно так же как и на стр. 913, на основании уравнений Максвелла, а именно:

1. Условия на поверхности и трансцендентное уравнение.

В уравнениях (3), (4) и (5) входят две неопределенные постоянные Точно так же в выражениях для поля внутри провода оставались неопределенными две

достоянные В общем получаются две неизвестных: отношение амплитуд и постоянная распространения Для их определения как раз достаточно двух условий на поверхности (непрерывность касательных составляющих, индексы обозначают "внутреннее" и "внешнее").

т. е.

Исключив получаем трансцендентное уравнение задачи:

Если оно решено, неизвестная определяется подстановкой в одно из уравнений (7). После этого поле будет определено как внутри, так и вне провода.

Для упрощения уравнений (8) рассмотрим сначала предельный случай идеального проводника, В этом случае бесконечно большое комплексное число (с положительной мнимой частью); по уравнению стр. 870 мы имеем тогда Вследствие этого правая часть (8) принимает не зависящее от значение

обращающееся в пределе в нуль. Чтобы исчезла и левая часть, мы должны взять

ибо мы видели раньше, что главная ветвь функции Ганкеля не имеет нулей.. По уравнению (10) скорость распространения волны вдоль провода будет равна с. Это как раз то, что предполагал Герц.

Случай реального металлического провода должен непрерывно переходить, в случай идеального проводника. Поэтому мы можем счить малым и взять в левой части (8) для приближенную формулу (6) стр. 867:

Правую часть нужно заменить ее значением (9). Тогда получится

Напишем вместо этого

Так как известно, и определяется трансцендентным уравнением (11). Для его решения можно предложить своебразный прием, похожий на образование непрерывных дробей. Он основан на том, что меняется медленно по сравнению с . Поэтому, если мы нашли приближение то находится из

Это приводит к такому алгорифму:

Сходимость легко доказывается для вещественных положительных значений но, конечно, остается и в комплексной области, что нам как раз и важно. Для логарифма нужно при этом всегда брать главную ветвь (мнимая чаеть между для того, чтобы соответствующий аргумент х лежал в положительной мнимой полуплоскости главной ветви функции Ганкеля Начальное значение в некоторых пределах безразлично, так как оно последовательно исправляется. Однако, чтобы улучшить сходимость, рекомендуется брать и, сообразно значению т. е. полагать как увидим, будет отрицательным числом, приблизительно равным формуле (12а) конечно, явно не встречается.

Заметим, что уравнение (11) допускает еще бесконечный ряд других корней, которые, однако, не имеют никакого значения для поверхностных волн. Один из корней лежит вбливи другие соответствуют не главной ветви, а тем ветвям логарифма, которые отличаются от главной на кратное Эти «орни также можно вычислить но нашему способу, если взять начальное значение и около 1, или если брать для логарифма не главную ветвь.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление