Главная > Физика > Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2. Поверхностные волны на непроводниках.

Джоулево тепло, которое тушит побочные волны в металлических проводах, отсутствует в случае непроводников. Поэтому возникает вопрос: нельзя ли наблюдать побочные волны на диэлектрическом, например, водяном "проводе". Для ответа мы должны исходить из уравнения (8) предыдущего параграфа. Волновое число в проводе теперь вещественно и пропорционально корню из диэлектрической постоянной иначе говоря, оно пропорционально показателю преломления диэлектрика

Если положить то уравнение (8) можно написать в виде:

Здесь, как и раньше, а обозначает радиус провода, - волновое число в воздухе, т. е. -длину волны при свободном распространении в воздухе колебаний данной частоты.

Так как затухания нет, будет вещественно, и мы можем положить где X — длина поверхностной волны, распространяющейся вдоль провода, измеренная вдоль него.

Так как вещественно, обе величины будут либо вещественны, либо чисто мнимы; во всяком случае, правая часть уравнения (16) будет вещественной.

Легко видеть что при вещественном левая часть (16) не может быть вещественной, так что должно быть чисто мнимым. В самом деле, считая вещественным и разделяя на основании формулы

в выражении вещественную и мнимую часть, получим для мнимои части выражение:

Из дифференциального уравнения для Весселевых функций следует, что числитель этого выражения есть отличная от нуля постоянная она равна знаменатель же обращается в бесконечность только при Следовательно, при вещественном мнимая часть не может обратиться в нуль и мы должны считать чисто мнимым.

Поэтому будем лучше писать вместо тогда будет вещественным, причем Мы сможем тогда провести все рассуждения в плоскости двух вещественных переменных и

Рис. 111.

При (или левая часть (16), по формулам (6) и (8), стр. 867 и 869 обращается в нуль, как (или в как ) и остается вещественной также для всех промежуточных значений Поэтому при также и правая сторона (16) должна обращаться в нуль, а для она обращается в бесконечнооть. Это значит, что значению соответствуют корни уравнения а значению корни уравнения Корни обоих уравнений вещественны и их существует бесконечное количество; отметим их на рис. 111 по оси ординат и назовем их по порядку для Через точки, соответствующие второму ряду, проведем параллели к оси абсцисс, представляющие асимптоты кривых заданных уравнением (16). Ход этих кривых можно получить, пользуясь таблицами Весселевых функций. Он будет зависеть от величины показателя преломления. На нашем рисунке взято (для воды ).

Но между существует еще соотношение:

которое получается исключением из выражения для (или вернее для в формулах (16). Начертим поэтому вокруг точки окружности с радиусом

и рассмотрим пересечения с нашей системой кривых. Точки пересечения дают пары значений удовлетворяющие всем условиям нашей вадачи.

Построение сейчас же показывает: для (первый корень ) вообще не существует точек пересечения, для (второй корень ) существует одна точка, для две течки пересечения и т. д. Радиусу на основании (18), соответствует длина волны в воздухе

Таким образом, существует некоторая граница для, волн, выше которой поверхностные волны на диэлектрике невозможны. Для воды ем, эта предельная длина волны равна

Так как в этом предельном случае а вначит, по (16), то длина волны, определяющая распространение вдоль провода, равна предельной длине волны Вообще, по уравнению (16)

т. е. X уменьшается с увеличением (с увеличением и 5) и притом сильнее, чем

Когда достигает значения, 5,52, т. е. становится равным:

то делается возможной волна другого вида, для которой сначала опять в то время как первая волна с сохраняется и т. д. Учитывая возможности наблюдения, мы можем ограничиться волнами первого вида» "основными волнами; волны высших порядков будут трудно наблюдаемы.

Проследим ветвь, соответствующую основной волне, от где она асимптотически переходит в прямую На первой границе скорость распространения вдоль провода будет, очевидно, равна, вследствие скорости аспр остр анения во внешней среде (в воздухе), т. е. Каково значение V на другой границе? В виду того, что конечно и согласно обращается с возрастанием из определения [уравнения (16)] следует:

т. е.

Но мы имеем вообще: в силу (20), следует, что для другого предельного случая основной волны скорость распространения вдоль провода авна скор ости распространения внутри диэлектрика, т. е. То же самое верно и для остальных ветвей, соответствующих волнам высших порядков. Скорость распространения вдоль провода

всегда лежит между скоростями, характерными для внешней и. внутренней сред, именно, между и

Структура поля в общем случае также является промежуточный между этими двумя предельными случаями. В нервом случае аргумент функции Ганкеля, представляющей поле вне провода, равен нулю: поле убывает по направлению наружу бесконечно медленно, силовые линии перпендикулярны к поверхности. Во втором случае этот аргумент очень велик, именно, равен поле спадает снаружи бесконечно быстро, мы имеем резко выраженный скин-эффект вне провода (а не внутри, где все пространство заполнено током). Все остальные случаи располагаются между этими двумя. Ход силовых линий в обоих предельных случаях будет такой же, как на рис. 110а и b.

Существенные черты описанной вдесь теории ножпо проверить экспериментально, хотя это и сопряжено с большими техническими трудностями.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление