Главная > Физика > Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2. Введение общих многократно-периодических систем.

Сопоставим теперь свойства систем, изученных в 1 и в § 5, 5, 6, которые,

отвлекаясь от возможности разделения переменных, можно сформулировать следующим образом. Если мы рассмотрим! уравнения (1), то они дают вещественные значения только в конечной -мерной области значений Движение, начинающееся в этой области, никогда не может выйти за ее пределы. Каждой точке этой области соответствует конечное число систем значений систем Штеккеля две в силу § 5, (12)]. Если мы назовем замкнутым "путем" в области замкнутую кривую, вдоль которой не только но и приведенные им в соответствие при посредстве (1) величины изменяются непрерывно, то существует и только отличных друг от друга замкпутых путей, вдоль которых интеграл от полного дифференциала (2) принимает отличцые от нуля значения.

При этом различными называют такие пути, которые не могут быть переведены один в другой непрерывным изменением. Так например, путь, проходимый в смысле § между и в прямом и обратном направлениях, никогда не может быть непрерывно переведен в такой путь, который не достигает этих границ области. Действительно, на таком пути может быть либо только положительным, либо только отрицательным; переход, который был бы непрерывен относительно невозможен потому, что может менять знак только на границах.

Если сделать относительно системы такое допущение, не предполагая при этом возможности введения разделяющихся переменных, и обозначить через интеграл, взятый по из выделенных путей, то можно точно так же, как в 1, вывести из касательное преобразование, вводящее соответствующие канонические переменные Так как при из названных обходов изменяется на величину определяемую формулой (3), в то время как возвращаются к прежним значениям, то как функции величин обладают свойство» периодичности, которое было формулировано в § 5, (34) для величин Если мы введем теперь величины посредством формул (3) и § 5, (33), то так же как и в § 5, 6, можно вывести, что периодичны относительно с периодом канонически сопряжены с Этим определяются угловые переменные и переменные действия для общих -кратно периодических систем.

Простейшим видом функций являются простые тригонометрические функции, именно где произвольные целые числа, а — произвольные функции величин И так как простую периодическую функцию переменной всегда можно представить как сумму тригонометрических выражений где k — целые числа, а не зависят от то аналогичная теоремах) имеет место для периодических функций неременных Поэтому, согласно § 5, (42), можно положить

где к 2, пробегают все целые неотрицательные числа, а А и являются функциями от Член с не содержится под знаком суммирования; он вынесен и мы его всегда будем называть "непериодическим членом".

Обозначая:

мы получим из § 5, (40)

При этом, как величины так и А представляют функции от

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление