Главная > Физика > Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

ГЛАВА XXIII. БЕСПРОВОЛОЧНАЯ ТЕЛЕГРАФИЯ

(§§ 1 и 2 этой главы переработаны В. А. Фоком)

Задачи из области беспроволочной телеграфии состоят, с одной стороны, в расчете приемников и отправителей, с другой — в исследовании распространения волн между приемником и отправителем. Мы будем заниматься здесь только задачами второго рода, так как только они подчинены дифференциальным уравнениям в частных производных электромагнитного поля.

Мы будем считать землю иногда плоской, как в §§ 1 и 2, иногда шарообразной, как в § 4, но всегда однородной, т. е. при вычислениях мы будем считать диэлектрическую постоянную и проводимость постоянными. Таким образом, мы не будем рассматривать интересных, но трудно поддающихся расчету явлений, какие, например, происходят при переходе волн с суши на воду. Точно также мы принуждены считать однородной и атмосферу, хотя новые опыты с очень короткими волнами как раз показывают, что расслоение атмосферы играет важную роль. Мы сможем только коснуться этих вопросов в § 4.

Далее мы должны сильно идеализовать форму излучающей антенны. Мы можем это сделать потому, что для излучения на большие расстояния, т. е. на расстояния во много длин волн, важен только полный текущий в антенне ток — его величина и направление, а не его распределение по антенне. В § 1 мы будем заниматься простой вертикальной антенной, которую мы будем рассматривать как диполь, колеблющийся перпендикулярно к поверхности земли; в § 2 мы займемся горизонтальной и рамочной антеннами, которые мы, если угодно, можем называть "магнитными диполями". Мы будем брать монохроматические колебания, зависимость которых от времени задается выражением Это соответствует современным ламповым или машинным отправителям, в то время как старые, искровые, отправители давали сильно затухающие, а никоим образом не гармонические, волны.

§ 1. Вертикальная антенна на плоской земле

Пусть поверхность земли будет плоскость вверх (в сторону атмосферы) мы будем считать вниз (вглубь земли) Положение

отправителя О пусть будет началом цилиндрической системы координат Расстояние точки наблюдения от О будет тогда

Выразим поле, как в главе XIX, § 4, 4, с помощью вектора Герца, который для вертикальной антенны имеет направление оси и не зависит от :

Вертикальную составляющую мы будем в дальнейшем обозначать буквой без значка. Величина удовлетворяет уравнению (19), § 4 той же главы.

Написанные здесь выражения для постоянной к соответствуют тому, что мы полагаем для воздуха а для земли Требуется найти такое решение уравнения (1), которое обращалось бы определенным образом в бесконечность в точке О (ср. ниже 1) и исчезало бы на бесконечности вместе со своими первыми производными. Из уравнений (18) стр. 841 следует для цилиндрических координат:

Граничные условия требуют, чтобы и принимали одинаковые значения но обе стороны поверхности раздела. По (2) это дает сперва:

Мы обозначили здесь значение в воздухе значком 0. Предыдущие уравнения верны при всех поэтому их можно по проинтегрировать; постоянную

интегрирования нужно положить равной нулю, так как исчезают при Поэтому граничные условия переходят в:

1. Первичное и вторичное возбуждение.

Характер обращения в бесконечность в точке О мы определим требованием, чтобы поле вблизи этой точки получалось такое, как от простого диполя с вертикальной осью. Согласно уравнению (20), стр. 841, это означает, что должно обращаться в бесконечность порядка где Мы положим поэтому:

Выделенный нами член удовлетворяет в отдельности волновому уравнению, а также второму из предельных условий (3). Амплитуда в выделенных членах может содержать еще общий для множитель, который остается произвольным и может быть определен только из интенсивности излучения. Важно отметить, что амплитуда в члене для пропорциональна а в члене для она пропорциональна это необходимо для того, чтобы главные члены в и в :

обращающиеся при в бесконечность, удовлетворили в отдельности также и первому из условий (3). Только если это требование выполнено, мы можем ручаться, что функции и будут оставаться конечными во всем пространстве.

В формулах (4) мы назовем выделенные члены первичным возбуждением, вызванным источником энергии в точке О, а остальную часть вектора Герца, т. е. функции мы назовем вторичным возбуждением. Это вторичное возбуждение вызвано условиями распространения волн, и оно учитывает различие материальных постоянных земли и воздуха.

Вторичное возбуждение мы представим в виде суммы (интеграла) частных решений дифференциального уравнения (1) следующим образом:

Здесь есть Бесселева функция нулевого порядка, X — произвольный параметр, произвольные функции, которые мы затем должны будем определить. Условимся всегда выбирать знак квадратного корня в показателе таким образом, чтобы вещественная часть корня была положительна. Тогда показательная функция в первой строчке исчезает при а во второй строчке она исчезает при как мы и должны требовать для поля на бесконечности.

Сложим теперь первичное возбуждение (4а) со вторичным (5), проинтегрировав последнее по всем А. от до мы получим:

Это выражение не только удовлетворяет дифференциальному уравнению (1), но также имеет требуемые свойства в точке О и на бесконечном расстоянии от О, если только убывают при по крайней мере как Остается

еще удовлетворить уоловиян на поверхности (3), для чего нам послужат обе до сих пор произвольные функции

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление