Главная > Физика > Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

7. Вывод приближенной формулы для точек вблизи поверхности земли.

Наибольший интерес представляет значение ноля для точек, высота

которых над землей весьма мала по сравнению с горизонтальным расстоянием от антенны (диполя). В этом случае можно упростить выражение (58) и свести в нем интеграл в другому, зависящему только от одного параметра.

Рассмотрим интеграл, входящий в выражение (58). В нашем случае будет близко к единице; поэтому мы разбиваем интеграл на два — один от до 1 и другой от 1 до

Первый из этих интегралов равен, как нетрудно видеть, половине интеграла от до входящего в (54а), так что соответствующий член в равен Выделяя этот член и обозначая его через мы можем написать

где

и

В интеграле, входящем в (61), произведем подстановку (56 и напишем его в виде

Здесь верхний предел определяется из равенства

причем мы имеем [см. уравнение (50)]

Подставляя в (61) и пользуясь (65), получим

Так как мы считаем величины — малыми, то параметр также будет малым, причем мы будем иметь, согласно (64),

или приближенно

В выражении (66) разлагаем по степеням ( отбрасывая четвертые степени. Происходящая отсюда погрешность будет порядка

так что при обычных условиях она будет весьма мала. Интеграл в (66) напишется:

Введем теперь величину

которую назовем "численным расстоянием", и возьмем в качестве переменной интегрирования величину

Верхний предел в нашем интеграле будет тогда где

и вследствие того, что

наш интеграл напишется:

Подставим теперь (69) в (66) и заменим там множитель перед интегралом его приближенной величиной Помня соотношение (67), мы получим:

где

причем имеют значения (67) и (68). Нам остается преобразовать выражение (62) для Мы в праве считать величину большой, несмотря на то, что весьма мало, и можем поэтому подставить вместо асимптотическое выражение (8) стр. 869. Мы получим тогда:

или если мы воспольвуемся (67) и выравим х, согласно (29), черев

Преобразуем здесь выражение в показателе На основании (65) и (68) мы имеем:

откуда

Подставляя это в (72) и заменяя там перед интегралом знаменатель получим

Заметим, что вследствие соотношения

мы можем сумму выражений (70) и (74) представить в виде:

Это и есть окончательная приближенная формула, которая была получена также и Вейлем в его работе, цитированной на стр. 943. При о (когда она вполне совпадает о формулой, выведенной автором Зонмерфельдом) в

Величина [уравнение (71)] может быть легко разложена в ряд по степеням В самом деле, удовлетворяет дифференциальному уравнению

с начальным условием при Отсюда тотчас получается, путем «равнения коэффициентов

Разложение в ряд величины будет поэтому:

Для достаточно малых значений мы будем иметь:

Как мы уже отметили в конце 6, это выражение соответствует (также и в отношении множителя предельному случаю бесконечно большой проводимости земли, конец 3, случай b).

То, что здесь для палых получается предельный олучай идеального проводника, является интересный подтверждением той точки зрения, которая принималась в первых работах по беспроволочной телеграфии [например, в работах М. Абрагама (Abraham)] и согласно которой земля считалась бесконечно-проводящей и антенна отражалась от поверхности земли. Но мы теперь видим что эта точка врения допустима только при а что для больших наблюдаются отклонения, зависящие от вещества земли.

Входящая в наши формулы величина названная нами численным расстоянием, будет, вообще говоря, комплексной. Однако, как это видно из нрибл женной формулы (67),

в том весьма важном частном случае, когда мнимая часть весьма велика сравнению с вещественной частью, численное расстояние будет веще ственным.

Наше выражение (67а) для содержит своего рода закон подобия для беспроволочной телеграфии. Так как поле задается выражением (75), а у поверхности земли, где оно зависит только от (если отвлечься от несущественного множителя , то одинаковым значениям (при, быть может, весьма различных значениях ) соответствуют одинс ковая величина и одинаковый характер поля.

Все обстоятельства, увеличивающие (уменьшающие) делают хуже (лучше передачу волновых сигналов. Рассмотрим в этом отношении, во-первых, свойств почвы, ватем частоту или длину волны колебаний.

Влияние свойств почвы очень значительно. Важна не только проводимости земли , но также и ее диэлектрическая постоянная значение которое вместе с , определяет, согласно уравнению (1), значение , а следовательно согласно (67а), также и значение . О материальных постоянных различных родоь земли имеются приблизительные данные Ценнека (J. Zenneck). По ним можно вычислить, например, для расстояния вемного квадранта (что соответствует первой трансатлантической станции Ирландия-Лабрадор) и для длины волны (для старых больших станций) следующие значения (в круглых числах):

(см. скан)

Соответственно совершенно различным порядкам величины этих чисел, мы должны ожидать во всех этих случаях различное телеграфное действие и различную картину волнового процесса.

Затем рассмотрим влияние длины волны на численное расстояние, например, в случае морской воды, где можно пренебречь током смещения по

сравнению с током проводимости. Тогда, согласно (1), будет и согласно (67а):

Таким обравом, увеличение частоты (уменьшение длины волны) увеличивает в рассматриваемом случае по квадратичному закону. Если в вышеприведенном примере уменьшить длину волны с до мы увеличим с — до 3,3. Мы должны ожидать, что телеграфное действие соответственно ухудшится. Обратпо, имевшаяся первоначально тенденция переходить для больших станций к волнам все большей длины доказывает, что увеличение длины волны — вследствие уменьшения численногр расстояния — благоприятно для преодоления больших абсолютных расстояний.

Конечно, это заключение связано с предположением об однородности атмосферы и о непрерывном распространении вдоль поверхности земли. При учете же возможной неоднородности атмосферы (поверхности разрыва, отражающие волны обратно) соотношения могут измениться на обратные. Новейшие опыты с очень короткими волнами показали, что эти волны преимущественно отражаются от верхних слоев воздуха и поэтому могут, перекрыть большие расстояния. При эксперименте можно даже отделить оба рода переноса волн: прямые или "земляные" волны (ground ray) и непрямые или отраженные волны (atmospheric ray). Наши формулы относятся только к первому из этих двух родов волн и для них подтверждаются экспериментом, в особенности поскольку дело идет о зависимости от материальных постоянных земли.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление