Главная > Физика > Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2. Горизонтальная электрическая антенна.

Возьмем направление антенны ось х и пусть поверхность земли будет опять Проще всего было бы вести вычисления с вектором Герца

имеющим то же направление, что и антенна. Однако это приводит к противоречию. Именно, если вычислить поле по уравнениям (18) стр. 841, то в прямоугольных координатах получится:

Граничные условия требуют непрерывности Таким образом, мы имеем три условия, тогда как для определения мы можем иметь их только два. Из непрерывности следовало бы, если бы мы проинтегрировали по х и у к обозначили значение для воздуха значком Но тогда непрерывность требовала бы что противоречит предположению.

Мы должны поэтому обобщить наше предположение, связав горизонтальное возбуждение с вертикальным

Физически это значит, что горизонтальный ток в антенне замыкается посредством вертикальных токов в земле. В силу (19) стр. 841 обе составляющие и удовлетворяют одному и тому же дифференциальному уравнению

Уравнения (18) стр. 841 дают теперь:

Граничные условия требуют непрерывности составляющих (5) и дают поэтому четыре уравнения. Как раз столько уравнений нужно для определения двух составляющих вектора Герца. Граничные условия, приведенные к наиболее простому виду (проинтегрированные), будут:

Рассмотрим сначала уравнения (7) и (9), служащие для вычисления Они совпадают с уравнениями (2), если и отождествить со стоящими там и

Добавляя постоянный множитель, одинаковый в земле и в воздухе, и выбранный так, чтобы наше равнялось прежнему можем написать

Так как зависит от х и у только через посредство мы иметь

если определить, как обычно, угол а с помощью уравнений Из условий (8) следует поэтому, что должно содержать множитель так что эту величину можно представить в виде производной по х от функции, зависящей только от и от Мы положим

Условия (6) и (8), проинтегрированные по х, дадут тогда:

Если воспользоваться (9), можно (8а) написать в виде:

Имея в виду (6а), мы будем искать функцию в виде:

где функция в обоих интегралах она и та же. Условие дает тогда:

или

где имеет прежнее значение:

Подставляя (13) в (12), будем иметь:

По формулам (11) отсюда получается составляющая вектора Герца, а именно:

где есть производная от В формулах (10), (15) и (16) мы можем, как это мы делали на стр. 944, распространить интегрирование от до заменив под интегралом на на Интегралы (15), а также их производные по будут сходящимися также и при так что при подстановке (15) в мы имели право дифференцировать под знаком интеграла. Мы не могли бы этого делать с выражениями (16), так как получили бы тогда расходящиеся интегралы.

Для приближенного вычисления наших интегралов мы воспользуемся тем же приемом, какой мы применяли в § 1, а именно, заменим интегрирование по вещественной оси интегрированием по петлям, окружающим особенные точки подинтегральной функции. При этом, как мы выяснили в § 1, интегралом по петле вокруг точки можно пренебречь.

Рассмотрим сперва интеграл [уравнение (10)]. Так как подинтегральная функция в нем не имеет полюса, то, с указанным пренебрежением, он сведется к интегралу вокруг точки Заменив в интеграле на и представив в виде

мы получим:

Здесь мы можем считать корень медленно меняющейся функцией и заменить его постоянной величиной Сделав это, получим на основании формулы (19) § 1

или, если мы пренебрежем здесь величиной по сравнению с

Для вычисления величины через которую выражается вертикальная составляющая вектора Герца, мы воспользуемся тем, что производная может быть выражена через и через вычисленный нами в § 1 вектбр Герца вертикальной антенны В самом деле, из уравнений (10) и (15), а также уравнения (15) § 1, получаем без труда строгое равенство

С другой стороны, найденные в § 1 приближенные выражения (58) для удовлетворяют тому же дифференциальному уравнению, как и рассмотренная там величина именно:

Если мы будем писать в виде

где, согласно уравнению (58) § 1,

мы будем иметь:

Выражая в (18) по этой формуле через и пользуясь приближенным значением величины х

мы получим:

Так как само представлено у нас в (17а) в виде производных по интегрировать это равенство по не составляет труда, и мы получаем:

или, на основании (20):

Входящая при интегрировании по произвольная функция от х и у очевидно должна равняться нулю, так как удовлетворяет волновому уравнению,

представляет расходящуюся волну и остается конечным во всем полупространстве

Вертикальная составляющая вектора Герца получается, согласно (11), дифференцированием выражения (24) по х.

Таким обравом, мы получаем окончательно следующие выражения для составляющих вектора Герца:

В этих выражениях главными членами правых частей являются первые члены. Сопоставляя их, легко видеть, что на больших расстояниях составляющая весьма мала по сравнению с так что в дальнейшем мы можем ограничиться рассмотрением Это обстоятельство весьма замечательно, так как в нашей горизонтальной антенне первичное возбуждение должно, казалось бы, иметь направление антенны, т. е. оси х. Первичное возбуждение нужно здесь как бы только для того, чтобы породить вертикальную составляющую вектора Герца. Передача волны вдаль осуществляется уже этой последней.

Рис. 113.

Для этой передачи вдаль прежде всего характерно направленное действие, обусловленное множителем о в уравнении (16). Этот же самый множитель входит и в электрические и магнитные составляющие поля, которые определяют излучение, и поэтому входит в квадрате в выражение излучаемой энергии. Энергия для любого расстояния представлена на рис. 113, как функция в виде симметричной полярной диаграммы отложен как радиус-вектор; о пунктирной кривой смотри ниже). Эта диаграмма тождественна с симметричной диаграммой излучения на рис. 88, с той только разницей, что теперь максимум лежит в направлении горизонтальной антенны, тогда как на рис. 88 продольное излучение равнялось нулю. Причина этого, конечно, та, что излучает совсем не горизонтальная антенна, т. е. не составляющая а индуцированные токи, т. е. составляющая

Если мы скомбинируем горизонтальную антенну когерентно вертикальной, как в изогнутом отправителе Маркони (нижняя часть рис. то вертикальной антенны алгебраически сложится с горизонтальной. Действие будет усилено для и ослаблено для Пунктирная кривая в верхней части рис. 113 представляет частный случай, когда оба одной величины. Тогда не будет никакого излучения для и двойная амплитуда для т. е. ярко выраженное одностороннее направляющее действие.

Наклонную антенну можно разложить на диполи с горизонтальной и вертикальной осями, действия которых просто складываются. Но так как на больших расстояниях действие горизонтального возбуждения опять-таки сводится к действию вертикальных антенн, суперпозиция обеих частей будет соответствовать,

если не обращать внимания на направленность, полю простых вертикальных антенн с силовыми линиями, почти перпендикулярными к поверхности земли.

Выведенные нами формулы дают наглядную картину действия горизонтальной антенны. Если мы пренебрежем в (25) вторым членом и выразим через мы получим:

Эта связь между горизонтальной и вертикальной антеннами весьма поучительна. Оказывается, что дальнее действие горизонтальной антенны можно рассматривать как одновременное действие двух вертикальных антенн, в смысле рис. 114. Изображенный здесь "антенный диполь", состоящий из вертикальных токов от земли и в землю, действует во вне, в направлении горизонтальной антенны, по формуле:

где I — эффективное расстояние обоих вертикальных токов и действие одной вертикальной антенны [см. уравнения (20) и (21)]. Для излучения под углом нужно, очевидно, заменить эффективное расстояние I на Этим объясняется направляющее действие горизонтальной антенны, в частности излучение для Амплитуда в формуле (27) показывает, кроме того, что конечная проводимость в месте стояния горизонтальной антенны является необходимым условием всего процесса (Гер-птельман): для амплитуда обращается в нуль.

Рис. 114.

Мы должны ожидать, что две вертикальные антенны, возбуждаемые когерентно, по с противоположными фазами, будут иметь такое направленное действие, как и то, которое в случае горизонтальной антенны получается само собой. На рис. 114 изображены для сравнения две такие мачтовые антенны на расстоянии I друг от друга. Действительно, еще в самой ранней стадии развития беспроволочной телеграфии Браун (F. Braun) делал опыты с такими двойными антеннами и получил ожидаемое направленное действие, которое здесь (из-за формулы конечно, можно обосновать элементарно.

Свойства электромагнитного поля горизонтальной антенны вполне определяются уравнениями (5) и (5а) и выражениями (26) для вектора Герца. Но мы воздержимся от дальнейших вычислений, тем более что это поле в основном совпадает с полем двойной вертикальной антенны (на рис. 114), которое можно обозреть совсем элементарно.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление