Главная > Физика > Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 4. Беспроволочная телеграфия вокруг земли

Чтобы решить часто возбуждаемый вопрос, может ли кривизна земного шара быть преодолена при однородной атмосфере или же для этого необходим

так называемый слой Хевисайда, мы займемся в этом параграфе представлением электромагнитного поля излучателя в однородной атмосфере при помощи строгих формул, удобных для вывода физических следствий. В многочисленных и во многом отличающихся друг от друга результатах прежних авторов можно ориентироваться по работам Ватсона и Лапорта которых мы и будем придерживаться при исследовании наших формул. В виде дополнения, мы коснемся вадачи со схематизованной неоднородной атмосферой, именно, случая распространения волн между поверхностью земли и ревко выраженным сдоем Хевисайда, присутствие которого, конечно, очень благоприятствует преодолению кривизны земли.

1. Однородная атмосфера, общая формулировка задачи.

Мы будем исходить из рассуждений гл. XX, § 4, 4. Оптическое поле вокруг шара было там представлено с помощью двух потенциалов из которых получались электрические и магнитные поля путем дифференцирования. Пусть в нашем случае дело идет об антенне, перпендикулярной к поверхности земли. Поле этой антенны будет симметрично вокруг земного диаметра, проходящего через антенну, причем магнитные силовые линии имеют вид кругов, перпендикулярных к этому диаметру и с центром на нем, а электрические силовые линии лежат в меридианных плоскостях. Составляющая магнитного поля, перпендикулярная к поверхности земли, вевде равна поэтому нулю. Мы можем, следовательно, обойтись здесь одним потенциалом и, который как раз характеризуется, в отличие от условием Если ввести полярные координаты с началом в центре земли и о осью проходящей черев антенну, то и, кроме того, не будет зависеть от 9. Следовательно, поле будет выражаться уравнениями (28) стр. 900, которые (если вевде подразумевать множитель и положить не только в воздухе, но и в вемле) дают, при

Первичное поле антенны мы будем рассматривать как дипольное поле с вертикальной осью. По теореме сложения (18) стр. 897, такое поле выражается в координатах точки наблюдения и в координатах источника, следующим образом:

Мы отбрасываем везде верхний значок функции Вместо подставляем так что обозначает расстояние антенны от центра земли. Мы предположим сначала радиусу вемли), так как шар играет особую роль в представлении и в виде ряда (2), и его надо отличать от шара для которого будут написаны граничные условия. Мы должны тогда равличать три области:

Имея в виду, что внутри земли первичное возбуждение отсутствует, и пользуясь (2), будем писать это первичное возбуждение в виде:

Для выражения вторичного возбуждения нужно заметить, что здесь шар не имеет никакого особого значения, так что в областях 1 и 2 будут одни и те же формулы. Так как здесь мы имеем дело с решениями уравнения которые внутри земли всегда конечны, а снаружи имеют характер уходящих волн, мы положим, вводя неизвестные коэффициенты а

Для полного возбуждения мы, следовательно, будем иметь:

Согласно уравнениям (1), условия на поверхности земли (граница между 2-й и 3-й областью) будут:

a) непрерывно, т. е. непрерывно:

b) непрерывно, т. е. непрерывно:

Чтобы упростить формулы, введем следующие обозначения:

Тогда условия (3) переходят в

Теперь, удовлетворив граничным условиям, мы можем перейти к пределу возникающих тут вопросах сходимости, см. Ватсон, 1. с.). Тогда мы имеем:

Так как при этом область 2 стягивается в ничто, то нас будет интересовать только область 1 и следующая комбинация коэффициентов:

Числитель вдесь зависит только от одного аргумента и по определениям (4) равен

Но обе функции и удовлетворяют дифференциальному уравнению (7), стр. 893:

Поэтому, по известной теореме о линейных дифференциальных уравнениях:

Для определения постоянной О мы можем воспользоваться асимптотической формулой (11) стр. 894.

Из этих формул и зависимости (10) между следует так что величина (7) равна мы можем теперь написать вместо (6):

и наш потенциал во внешнем пространстве будет:

Для области внутри вемли получается соответственно:

В случае бесконечной проводимости земли в

и разумеется, Для конечной, но большой проводимости мы можем разложить (8) на суиму двух членов:

2. Переход от рядов к интегральному представлению.

Нас, главным образом, интересует поле в воздухе [уравнение (8)] и прежде всего предельный случай (10). Так как порядок величины отношения будет около , то (мы будем отбрасывать значок и значок будут большие числа. Поэтому пока и не очень велико, можно брать асимптотические формулы (11) стр. 894, которые показывают, что не зависит от Так как с возрастанием даже увеличивается, о практической сходимости ряда может быть и речи. Нужно было бы веять больше 1000 членов, чтобы формулы (11) сделались непригодными и на их место встали бы асимптотические приближения Дебая (ср. стр. 871); только тогда ряд начинает действительно сходиться. Вследствие этого ряд (10) совершенно не пригоден для численных вычислений. Мы возьмем его только в качестве исходного материала для комплексного интеграла такого рода, чтобы сумма вычетов подинтегральной функции совпадала с исходным рядом.

Рис. 115.

Пользуясь методом, полезным также и в других случаях, добавим в знаменателе множитель который на положительной вещественной оси в точках исчезает как

Мы получим искомый интеграл, если в общем члене разложения (10) вместо напишем и проинтегрируем по по петле 31 вокруг положительной вещественной оси по направлению часовой стрелки. Тогда получается равнозначащее с (10) выражение:

Аргумент в выражении шаровой функции учитывает множитель в (11), так как Путь 31 вокруг вещественной положительной оси эквивалентен пути 33, лежащему над вещественной осью, рис. 115. Чтобы это доказать, покажем, что множитель при в (12) есть четная функция от Во-первых, из дифференциального уравнения для шаровых функций следует, что, если при нецелом значении понимать под то решение уравнения,

которое удовлетворяет условию эта функция будет обладать свойством прию

Затем, из свяви между стр. 894 и из (6а) стр. 867, видно, что

Такое же уравнение справедливо, по определению (4), также и для

Следовательно, также есть четная функция от Так как четно, то интеграл (12) не меняется при замене на При этом часть §1, лежащая под вещественной осью, переходит в показанный на рисунке пунктиром путь 31, а его вместе с §1 можно перевести в 33, что и требовалось доказать.

Путь 23 мы будем далее деформировать в положительно мнимую сторону (верхняя полуплоскость рис. 115). Для подготовки рассмотрим поведение при больших положительно-мнимых значениях Для таких можно вывести асимптотическое равенство:

и так как одновременно

то

что исчезает экспоненциально. При этом, для удобства, величина в знаменателе заменена через что в асимптотической формуле, конечно, позволительно.

Далее мы должны исследовать поведение и как функций от в положительно-мнимой полуплоскости переменной I к, в частности, определить корни Обыкновенные асимптотические формулы (11) стр. 894 здесь, разумеется, не годятся, так как они выведены для конечного индекса (порядок Бесселевой функции) и бесконечно возрастающего аргумента. Но и здесь мы можем пользоваться, по Дебаю, методом седловой точки и получить формулы, годные для большого аргумента (радиус земли) и большого или бесконечно большого индекса. Относительно подробностей мы должны отослать к работе Дебая, вдесь же укажем только общий ход вывода.

Во-первых, отличается от только не зависящим от множителем [стр. 894 ур. (9)], так что мы можем рассматривать вместо С. Мы напишем интегральное выражение (3) стр. 866 в виде:

Седловые точки будут там, где Там мы имеем, согласно (13),

Положим, вмеоте с Дебаем:

тогда в седловых точках

Асимптотическое поведение в основном определяется показательной функцией (ср. стр. 868 и 869); добавочный множитель, который вычисляется из не играет здесь особой роли.

Уже экспоненциальная форма показывает, что мы не подучим корней пока асимптотическое поведение будет определяться только одной из седловых точек (на седловые точки целое, мы можем не обращать внимания). Это всегда будет так, если комплексно, что, в силу (14а), при комплексном вообще и будет иметь место. Если же вещественно, то для асимптотического поведения одинаково важйы обе седловые точки Вместо показательной функции мы тогда получаем косинус и в качестве асимптотического выражения мы получаем (отбросив указанный множитель):

Корни определяются, следовательно, условием:

Здесь целое число нужно брать отрицательным (ср. Дебай). Поэтому мы будем писать вместо Для малых х (не очень больших следует:

причем относительно знака корня из единицы опять отсылаем к Дебаю. Отсюда, вследствие (14а), следует:

или

Эти величины представляют корни уравнения рассматриваемого как уравнение для Для вещественного они лежат в положительно-мнимой полуплоскости переменной для иллюстрации их расположения может качественно служить рис. 115, на котором указаны корни Одновременно мы получаем корни рассматриваемого как уравнение для Именно из (16) мы непосредственно заключаем:

и так как в первом приближении то

Таким образом, корни уравнения лежат (при вещественном в отрицательной мнимой полуплоскости переменной Этот результат находится в согласии с упомянутым на стр. 871 следствием из теоремы Грина.

Для исследования нашего интеграла (12) нам нужны, собственно, не корни а корни знаменателя Их мы легко найдем следующим образом.

При вычислении мы в формуле (15) отбросили медленно меняющуюся амплитуду. Такая же амплитуда будет и у функции С, отличающейся от медленно меняющимся множителем. Мы можем поэтому положить:

где

С той же степенью приближения мы будем иметь:

если пренебрежем производной от медленно меняющейся величины Следовательно, корни даются уравнением Вблизи корня мы имеем:

или

Амплитуда А выпала из наших формул. Вычислим производные Дифференцируя (17), получаем:

С другой стороны, соотношение [уравнение (14а)] дает:

Следовательно,

Подставляя эти выражения в (18), получим:

Найдем теперь корни Если мы поступим с этим уравнением так же, как раньше с аналогичным уравнением (15а), т. е. будем считать малым, отрицательным (и писать вместо него — и кроме того положим, в соответствии с (12), аргумент равным а (вместо мы получим:

Эти корни также лежат в положительно-мнимой полуплоскости (рис. 115); они отмечены там как

Мы ограничимся вычислением интеграла (12) для точек в непосредственной близости от земной поверхности, где На основании (18а) мы имеем вблизи

Наш интеграл (12), по теореме Еоши, равен умноженной на сумме вычетов в точках т. е. согласно и (20):

Если мы выразим вдесь последний множитель с достаточным приближением черев и включим все постоянные В уже отброшенную амплитуду, мы получим окончательно:

3. Численное исследование и дополнения.

Корни заданные уравнением (19), имеют положительную мнимую часть и поэтому вызывают нечто вроде затухания (или лучше затенения). Выпишем разделенные на а 8 мнимые частя корней в виде таблицы:

Соответствующий множитель затухания при равен

Положив радиусу земли мы найдем:

откуда для получается затухание:

Для второго корня, мнимая часть которого превышает мнимую часть первого немного больше чем в три раза, затухание будет Множитель в (21) уменьшает эту величину примерно до Поэтому мы в праве пренебречь вторым, и тем более третьим членами в сумме (21), и напирать просто:

Здесь мы в вещественной части пренебрегли содержащим в поправочным членом сравнению с главным членом обозначает расстояние между отправителем и приемником, считаемое по поверхности земли. Из двух следующих выражений для затухающего множителя 8, первое получается, если подставить вместо а его значение в километрах, второе, если, кроме того, ввести вместо угла расстояние

В обоих последних выражениях нужно, разумеется, выражать в километрах.

Зависимость показателя от X показывает, что затенение будет тем полнее, чем меньше X, чем менее заметна диффракция (огибание шара).

Распространение фазы, задаваемое множителем ем в (22), происходит со скоростью света с вдоль земной поверхности. Очень интересен множитель а в (22). Он указывает на концентрацию энергии в точке, диаметрально противоположной с отправителем, как это можно обнаружить на самом деле. Правда, надо иметь в виду, что вблизи самой этой точки наша формула непригодна, так как там не годится примененное в асимптотическое выражение шаровых функций (см. ниже), вследствие чего кажущееся обращение и в бесконечность при не реально. С другой стороны, множитель ясно показывает, что процесс распространения сильно отличается от процессов геометрической оптики, именно, что в самом деле происходит загибание силовых линий вдоль поверхности земли (также и в случае идеально проводящей земли). В рамках теории диффракции можно было бы сравнить увеличение интенсивности при с так называемыми явлениями диффракции Пуассона, которые происходят на обратной стороне совершенно непрозрачного диска.

Бросим еще взгляд на выражение из в уравнении (10а), учитывающее в первом приближении конечную проводимость земли. Здесь вместо знаменателя стоит его квадрат. При переходе к интегральному выражению нули будут входить квадратично, но без изменения их положения. Поэтому вычеты подинтегральной функции нужно вычислять иначе, но затухающий множитель , который получается из асимптотического значения остается «прежний. Поэтому конечная проводимость не изменяет меры затухания или затенения и не дает ничего существенного для объяснения дальности действия радио-телеграфных сигналов.

Наконец, мы можем сделать переход к пределу а т. е. к плоской земле, который должен вернуть нас к формулам § 1. При конечном с переходом к пределу угол измеренный от центра земли, обращается в нуль. Для шаровых функций будет справедливо уже не выражение а следующее выражение:

Отсюда мы заключаем, положив

Если мы подставим это в (10) и превратим сумму по в интеграл по причем то мы получим:

При вычислении ограничимся, для краткости, поверхностью земли, где а, и заметим, что теперь нужны не нули функции а произвольные

точки на вещественной оси так что нужно брать первоначальную показательную форму асимптотического выражения упомянутую на стр. 980, а не тригонометрическую, т. е., по примеру наших предыдущих вычислений, положить:

Но, согласно уравнению (14а), в применяемых нами теперь обозначениях а вместо мы имеем:

Подставив (24) и (25) в (23), получим:

а это и есть в точности наш прежний результат (15) § 1 (с измененными обозначениями вместо для предельного случая (ср. там Делитель перед интегралом получается потому, что в уравнении (2) мы исходили не из а из Как показывает Лапорт в цитированной работе, аналогично можно получить, с помощью перехода к пределу формулу (15), § 1 и для произвольного k.

Заметим еще, что общий вид (22а) затухающего множителя указан впервые Пуанкаре в 1905 г., а стоящий там и имеющий существенное значение численный коэффициент дан Никольсоном в 1910 г. и Макдональдом в 1914 г. Наше изложение в основном совпадает с цитированными работами Ватсона и Лапорта.

4. Сравнение с опытом. Слой Хевисайда.

Количественные наблюдения интенсивности приема очень трудны. Лучшие наблюдения принадлежат, пожалуй, Аустину (L. W. Austin). Результаты вообще таковы, что интенсивности приема в действительности гораздо больше тех, которые должны были быть по предыдущей теории, т. е. для однородной атмосферы, причем это происходит как днем, когда наблюдения дают однородные результаты, так и в особенности ночью, когда результаты получаются неоднородные и иногда дают гораздо большие дальности, чем днем. Аустин представляет результаты своих наблюдений эмпирической формулой с множителем затухания:

Характерна зависимость показателя от там стоит вместо X в уравнении (22а).

Для объяснения неожиданно большой дальности приема, со времен Хевисайда (1900) принимают существование ионизованного и поэтому проводящего верхнего слоя воздуха. Если рассматривать этот слой и землю как идеальные проводники, то распространение волн было бы сконцентрировано в относительно топком слое. Внутри последнего надо, ввнду того что поле уже не простирается на бесконечность, брать вместо 1., стр. 976, более общее выражение

причем появляется новое предельное условие на внешней границе шарового слоя. Интересно то, что Ватсон, пользуясь тем же методом, при помощи которого он исследовал разобранный выше случай однородной атмосферы, показал, что для шарового слоя множитель затухания имеет тот же вид, как в формуле (27), т. е. что он пропорционален . Для объяснения полученного Аустином численного множителя 9,6 нужны, впрочем, добавочные предположения.

Непосредственные наблюдения над сигналами на короткие расстояния также подтверждают существование слоя Хевисайда. В этой области особенно ценные данные были получены Экльтоном и его учениками. Брэйт и Тюв измерили и описали эхо радиоволн, возникающее у слоя Хевисайда. Из наблюденной разности времен получается высота отражающего слоя от 80 до 200 км.

УЧЕБНИКИ

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление