Главная > Физика > Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 7. Однозначные интегралы и траектории, заполняющие объем

1. Плоский осциллятор.

Будем опять исходить из упругих колебаний материальной точки в плоскости (см. § 5, 4 и § 6, 4). Легко видеть, что интегралы уравнений движения можно подразделить на два класса интегралов, имеющих совершенно различный физический смысл. В виде примера интеграла первого класса можно привести интеграл энергии в случае одной степени свободы § 4, (19а). Если выражение для этого интеграла решить относительно [см. § 4, (20)], то на основании полученного уравнения каждому

значению будут соответствовать два определенных значения, (так как квадратный корень имеет два внака), так что вблизи этих значений не имеется других значений, удовлетворяющих уравнению (19а). Такого рода интегралы называют однозначно или конечно-многозначно разрешимыми относительно в зависимости от того, соответствует ли каждому определенному значению одно единственное или конечное (в нашем случае два) число значений

В качестве второго примера рассмотрим интеграл, получаемый из двух уравнений (23), § 5, если из них исключить время В результате мы получим следующее соотношение между :

Решая (1) относительно мы найдем

При каждом определенном значении может принимать бесконечное число различных значений, отличающихся друг от друга на где любое целое число. Таким образом, аргумент в выражении (2) содержит при определенном значении неопределенный член вида так как может равняться любому целому числу. Предположим, что — есть иррациональное число. Тогда всякбе число, лежащее между и можно с произвольной точностью представить при помощи выражения если всякие два числа, отличающиеся друг от друга на число, кратное мы будем считать равными. Поэтому при каждом данном значении координата на основании уравнения (2), В этом случае говорят, что интеграл (1) не разрешим однозначно или конечно-многозначно относительно Так как играют в (1) одну и ту же роль, нельзя решить и относительно ни однозначно, ни многозначно. Интеграл, который нельзя решить однозначно (или конечно-многозначво) относительно какой-либо переменной, называют неоднозначный (или не конечно-многозначным) интегралом.

Легко видеть, что между однозначными интегралами (под которыми мы в дальнейшем будем также подразумевать "конечномногозначные" интегралы) и неоднозначными при их физической интерпретации имеется существенное различие. Представим себе, что любое "состояние" осциллятора может быть изображено точкой в четырехмерном пространстве - "фазовом пространстве" осциллятора. Тогда эта точка — "фазовая — точка" при своем движении будет описывать кривую в фаговом пространстве, которая называется фазовой кривой. Оба однозначных интеграла § 4, (2) при определенном выборе постоянных интегрирования ограничивают фазовую кривую двумя определенными двухмерными частями фазового пространства, так как задание одновременно определяет значения и Если теперь воспользоваться интегралом (1) и выбрать определенные значения для постоянных интегрирования фазовая кривая будет ограничена одномерным подпространством. Из уравнения (2а) § 4 следует, что проекция фазового пространства на плоскость которая теперь совпадает с траекторией движения, заключена внутри прямоугольника со

сторонами Траектории для случая, когда находится в рациональном отношении к когда они относятся друг к другу как целые числа, изображены на рис. 3 и 4, причем для рис. 3 это отношение равно а для рис. 4 оно равно Чем больше целые числа, входящие в отношение , тем больше точек прямоугольника находится в непосредственной близости к траектории.

Если наконец отношение — будет иррациональным числом, то траектория приблизится к каждой точке прямоугольника сколь угодно близко, так как в этом случае уравнение (2) нельзя однозначно решить относительно какой-либо координаты, и следовательно, каждому значению будет соответствовать любое значение внутри прямоугольника.

Рис. 3.

Рис. 4.

При этом говорят, что траектория заполняет весь прямоугольник или что фазовая кривая заполняет двухмерное пространство. Таким образом, обобщая, можно высказать утверждение, что оба однозначных интеграла § 4, (20) ограничивают фазовую кривую -мерного пространства -мерным пространством.

Других однозначных интегралов не существует. Поэтому фазовая кривая "заполняет" все пространство, определяемое обоими однозжачными интегралами. Неоднозначный интеграл (1) не приводит к дальнейшему уменьшению числа измерений пространства, заполненного траекторией.

Это различие имеет большое значение для физической интерпретации интегралов. Действительно, из физических измерений постоянные интегрирования можно определить лишь с ограниченной точностью. Поэтому двухмерная поверхность, на которой находится фазовая кривая, определяемая однозначными интегралами § 4, (20), будет иметь некоторую толщину". Так как интегралы однозначны, т. е. так как определенным значениям соответствуют определенные изолированные значения то эти поверхности конечной толщины заполняют только некоторую часть -мерного фазового пространства, которая тем меньше, чем точнее определены В этом случае говорят, что всякое "измерение" постоянных интегрирования "однозначных" интегралов ограничивает фазовые кривые некоторой частью фагового пространства.

Но так как постоянные в (2) также определены с некоторой "ошибкой", то и "траектории" (2) имеют некоторую толщину. Благодаря этому они полностью, не оставляя пустых мест, заполняют весь прямоугольник, лежащий в плоскости Измерение постоянных интегрирования неоднозначного интеграла совершенно не ограничивает траекторию. Это измерение не дает нам более точных

сведений, чем те которые мы уже имели до определения постоянных интегрирования.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление