Главная > Физика > Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

4. Дифференциальное уравнение волновых поверхностей и световых лучей.

Рассмотрим теперь волновую поверхность в момент и совокупность волновых поверхностей, образующихся из нее в результате распространения светового возбуждения. Такую совокупность волновых поверхностей мы будем называть волновой последовательностью. Пусть волновая поверхность в момент определяется уравнением

Вместо функции часто вводят другую функцию так что волновую Последовательность можно представлять в виде

Очевидно, если нам задана функция то можно без труда вычислить вектор нормали определяемый уравнением (44). Рассмотрим две близкие поверхности пашей последовательности и Пусть расотояние квжду ними по нормали в точке, характеризуемой вектором равно Тогда на основании определения волновой скорости очевидно, что следовательно:

Но так как вектор перпендикуляр к волновой поверхности то он совпадает по направлению о вектором нормали, поэтому

Однако, вектор должен удовлетворять соотношению (47). Таким образом, для мы получаем уравнение:

Выражение (59) представляет собою дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка по отношению к функции 8. Всякое решение этого уравнения называется эйконалом, а само уравнение (59) носит название уравнения эйконала и представляет собой не что иное, как дифференциальное уравнение в частных производных Гамильтона-Якоби нашей вариационной задачи.

Всякое решение уравнения эйконала (59), согласно (56); определяет волновую последовательность. Совокупшсть световых лучей, вдоль которых распространяется волновая последовательность, называется семейством лучей, соответствующим последовательности. Семейство лучей можно представить с помощью поля направлений, которое выражается через на основании урав-нений (42), (52) и (69) следующим образом:

Из этого уравнения можно опять получить дифференциальное уравнение световых лучей. Пусть есть векторное, поле, удовлетворяющее уравнению (47), следовательно,

Но по аналогии о уравнением (33)

и на основании (52)

Но так как, в силу условия (61), вектор равен нулю, то из (63) вытекает

Если есть поле векторов нормали, относящихся к волновой последовательности, то, на основании (58), следовательно, уравнение (64) дает:

Это векторное уравнение вместе с уравнением (52) представляет систему двух векторных уравнений для векторных полей Легко видеть, что условие не противоречит этим уравнениям, так как удовлетворяет соотношению Уравнение (65) справедливо только для семейства световых лучей, соответствующих волновой последовательности. Однако, легко установить, что левая часть уравнения (65) зависит только от хода одного единственного луча.

Если уравнение светового луча опять представить в параметрической форме, и т.д., как и в уравнениях (16) и (17), где однако теперь параметр «есть длина дуги вдоль луча, и поэтому обозначается буквой о, то переменные согласно уравнениям (16) и (17), будут являться составляющими вектора поэтому составляющая х левой части уравнения (65) будет равна:

В векторной форме уравнение (65) примет вид:

Последнее уравнение вместе с уравнением которое можно теперь перевисать следующим образом

образует систему двух векторных уравнений для двух векторов рассматриваемых как функции от параметра

Теперь, очевидно, что мы имеем здесь дело с дифференциальными уравнениями для отдельных световых лучей. Еслй такие уравнения составить для каждой составляющей, то мы получим

Эти выражения представляют собой известные дифференциальные уравнения экстремалей некоторой вариационной задачи в канонической форме.

Дифференциальное уравнение светового луча можно составить не только для и для при условии, что равенство нулю величины эквивалентно обращению в нуль -согласно уравнениям (53) и (47а), мы получим

Если вместо длины дуги о, отсчитываемой вдоль светового луча, ввести параметр и при помощи соотношения

то уравнение световых лучей можно также написать в следующем виде:

Эти уравнения имеют такую же каноническую форму, как и уравнения (68).

Таким образом, мы опять получили известные дифференциальные уравнений экстремалей вариационной задачи в канонической форме.

Так как соотношение (65) относится и к отдельным световым лучам, то оно должно быть справедливым и для такого поля направлений, которое определяет семейство световых лучей, не относящихся какой-нибудь определенней волновой

последовательности. Однако, из (64) следует, что каждое семейство световых лучей, заданное нолем направлений; должно удовлетворять уравнению

если вектор соответствует единичному вектору по уравнению (40).

Условие для поля направлений световых лучей, на основании можно также написать в виде

где X есть скалярная функция координат. Когда X обращается в нуль, световые лучи образуют определенную волновую последовательность. Для любого поля направлений световых лучей из (72а) вытекает следующее соотношение:

т. е.

Если поэтому значение X на некоторой поверхности, пересеваемой всеми световыми лучами, равно нулю, то производная также должна равняться нулю, т. е. X равно нулю вдоль всех световых лучей поля. Следовательно, если световые лучи пересекают хотя бы одну поверхность так, что соответствующие вектора нормалей перпендикулярны к этой Поверхности, то эти лучи принадлежат к определенной волновой последовательности (теорема Малюса).

Теперь легко показать, что световые лучи, удовлетворяющие уравнению (72), могут быть получены из принципа Ферма, и, следовательно, обращают интеграл в уравнении (14) в минимум. Действительно, из уравнений (35), (72) и (41) следует:

Вводя опять длину дуги о как параметр и применяя соображения, приведшие от уравнения (58) в уравнению (59), мы сможем написать предыдущее выражение в виде:

Однако, в силу (27) и (41), это и есть условие того, чтобы интеграл (14) вдоль хода оветового луча имел экстремальное значение.

Рассмотрим теперь две точки: точку о радиусом-вектором и точку с радиусом-вектором Легко показать, что путь луча между этими двумя точками, т. е. интеграл (14), взятый по соединяющему их световому лучу, можно представить при помощи решения уравнения эйконала (59). Для этой цели рассмотрим последовательность волн, к которой принадлежит рассматриваемый световой луч. Пусть световое возмущение в момент проходит через точку а в момент через точку Тогда точка будет лежать на поверхности а точка на поверхности где функция есть соответствующим образом выбранное решение уравнения эйконала. Рассмотрим хеперь вою совокупность световых лучей, принадлежащих в последовательности Тогда Мы получим поле направлений и соответствующее поле векторов нормали Как известно, равен 0. Вследствие этого интеграл

не зависит от пути и полностью определяется пределами интегрирования. Если интеграл (74) взять вдоль какого-нибудь пути от точки до точки то на основании (58) мы, очевидно, получим:

Если же интеграл (74) взять не по произвольному пути, а вдоль светового луча, соединяющего точку с точкой то в этом случае и так как, согласно уравнению (45), то мы получим из уравнения (75):

т. е. путь светового луча между двумя точками равен разности значений эйконала в этих двух точках в том случае, если эйконал описывает последовательность волн, в которой принадлежит рассматриваемый световой луч. Если при перемене направления распространения луча функция не изменяет свой гвак, т. е. если

то мы имеем "симметричную" анизотропию. Она существует во всех покоящихся кристаллах и отсутствует только в том случае, йогда анизотропия тела вызываетря его движением (см. § 3, 4).

Если условие (77) удовлетворено, то из уравнения (40) или из равенства следует, что вектор меняет энак вместе с вектором . При этом левая часть уравнения (76) будет всегда положительной независимо от порядка пределов интегрирования.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление