Главная > Физика > Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

3. Обобщение понятна квазистатического движения по Леви-Чивита.

Введенное в 2 понятие было существенно связано с наличием скрытых координат. Если же, например, при рассмотрении центрального движения вместо полярных координат ввести прямоугольные координаты х, у, то функция Лагранжа будет и скрытых координат нет. Однако, очевидно, что особая роль равномерных круговых движений остается в силе. Следовательно, должен существовать метод, позволяющий в более общем виде устанавливать квазистатичеекие движения. Такой метод установлен Леви-Чивита

В то время как в 2 мы рассматривали, следуя Раузу, движения, при которых составляющие импульса соответствующие скрытым координатам не менялись со временем, теперь, следуя Леви-Чивита, рассмотрим движения, при которых какие-либо интегралов уравнений движения в смысле гл. II § 2, (62) имеют определенные значения постоянных интегрирования

Пусть, как и раньше, обозначают обобщенные координаты, а

не содержащих времени интегралов уравнений движения гл. II, § 2, (52). Если при этом образуют систему в инволюции (см. гл. II, § 2, 6), то посредством касательного преобразования можно ввести новые канонические переменные таким образом, что опять будут представлять постоянные значения составляющих импульса, соответствующих скрытым координатам. Введем новые переменные и сопряженные им посредством следующих соотношений:

Остальные величины должны быть такими функциями от величин были удовлетворены дифференциальные уравнения:

В таком случае, в силу (7), (8) и предположения относительно величин соотношение будет выполнено само собой. В таком случае, мы согласно гл. II, § 4, (22) имеем дело с касательным преобразованием вида гл. § 4, (23).

Уравнения движения сохраняют свой вид. Следовательно, если, согласно нашему теперешнему обозначению, разделить их на две группы, то мы получим, аналогично гл. II, § 4, (12а):

При этом тождественно:

Так как, согласно (8) и (7), величины не меняются со временем, т. е. в выражение величины не входят; следовательно, в преобразованной задаче они являются скрытыми координатами. Теперь мы видим, совершенно так же, как в 2, что при постоянном существует решение уравнений (10), при котором имеют постоянные значения которые можно получить конечных уравнений

решением их относительно , как функций Если вставить эти значения в II, то из (11) мы получим:

Вместе с равенствами мы имеем систему решений уравнений 10), (11) с произвольными постоянными из которой мы сразу получим такую же систему решений первоначальных уравнений, если мы в уравнения касательного преобразования введем для величин выражения (14) и равенства и решим эти уравнений относительно величин Таким образом, мы получим эти общие координаты как функции времени и 2а постоянных Следуя Леви-Чивита, мы назовем эту систему решений квазистатическими движениями относительно интегралов движения уравнений (7), образующчх систему в инволюции.

На основании заключительного замечания в гл. II, § 4, каждое движение системы очевидно является квазистатическим относительно системы в инволюции из интегралов.

В большинстве конкретных случаев невозможно, однако, вычислить изложенным способом величины для квазистатического движения, так как действительное выполнение касателшого преобразования требует решения системы (9) дифференциальных уравнений первого порядка в частных производных. Однако, нижеследующее замечание приводит к цели. Рассмотрим изменение, которое испытывает функция Гамильтона или, что то же самое, полная энергия системы, когда мы переходим от квазистатического движения системы в соседнему движению, которое соответствует тем же значениям постоянных интегрирования в уравнениях (7), и разложим это изменение по изменениям величин Если мы затем примем в расчет, что не входят в выражение а не изменяются, то линейные от носительно

приращений члены, которые мы обозначим через имеют на основании уравнений (12) и (13) вид:

Обратно, из условия при добавочном условии, что величины должны оставаться постоянными, вытекают уравнения (13) для квазистатического движения. Следовательно, в этой форме условие не зависит от системы координат, и мы можем его выразить следующим образом непосредственно в величинах нужно найти движения, для которых при добавочных условиях (7) имеет место уравнение Из (7) следует после решения:

Вставляя в (12), мы получим:

В таком случае условие может быть сформулировано как уравнение без добавочных условий. Из него следует:

Здесь мы имеем как будто бы условий. Но так как они эквивалентны с условиями (13), которые можно написать также как условия для то [а из уравнений (18) представляют собой следствия остальных. Поэтому в них можно выбрать произвольным образом еще у. неизвестных, например а остальные выразить через них.

Если вставить эти выражения и остальные — из (16) в уравнения движения гл. II, § 2, (52) и рассмотреть первые из них, то мы получим дифференциальных уравнений первого порядка, из которых можно вычислить как функции от времени и от постоянных интегрирования. Но так как само содержит еще величины то в нашем решении имеется 2а постоянных. Следовательно, нахождение квазистатических движений требует интегрирования системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Другие переменные получаются при решении уравнений (18), как функцйи а следовательно также постоянных. Что эти переменные также удовлетворяют первоначальным уравнениям, видно из того, что соотношения (18), если они имеют место в некоторый момент времени, в силу уравнений движения, выполняются тождественно и в любой момент Легче всего убедиться в этом следующим образом: уравнения (18) эквивалентны уравнениям (13). Но последние представляют собою соотношения, "инвариантные" относительно уравнений движения (10), т. е. из (13) и (10) также следует:

Действительно:

А отсюда согласно уравнениям (10) и (13) вытекает равенство нулю левых сторон и, следовательно, справедливость соотношений (13) для любого момента времени.

Более симметричным образом можно вывести соотношения, вытекающие при добавочных условиях вводя неопределенных множителей . В таком случае искомые соотношения имеют, как известно, вид:

Если исключить с помощью уравнений (7), то из уравнений между величинами по тем же основаниям, как и выше, остаются только независимых сеотношений.

Чтобы показать применение метода на совершенно ясном примере, рассмотрим центральное движение в прямоугольных координатах.

Если обозначить составляющие количества движения через , то гамильтонова функция имеет вид: где

Будем искать квазистатические движения по отношению к интегралу площадей: нашем случае следовательно, для квазистатических движении между должны иметь место независимых соотношений. На основании уравнений (19), полагая , мы получим сначала соотношений, а именно:

С помощью последнего уравнения можно исключить а именно, если в последней системе уравнений помножить первое уравнение на у, второе на х и вычесть результаты, то мы получим Если вставить это значение, то останутся уравнения между

Четвертое из них вытекает первых. Из (21) можно вывести следующие три независимые симметричные соотношения: из первых двух посредством умножения на сложения и применения интеграла площадей: из второй пары посредством умножения на и сложения: наконец, из той же пары посредством умножения на х и у и сложения: На основании первого уравнения должно иметь постоянное значение которое зависит только от а; на основании второго уравнения то же имеет место для абсолютного вначения скорости. На основании третьего уравнения скорость всегда перпендикулярна радиусу-вектору. Следовательно, квазистатические движения представляют собой равномерные круговые движения, радиус и скорость которых являются определенными функциями а. Мы получим как функции от времени, если вычислим из трех соотношений как

функции от и вставим в канонические уравнения движения. Решение трех соотношений дает:

Если мы вставим эти выражения в первое уравнение движения то мы получим:

т. е. дифференциальное уравнение для одного х. Интегрируя, мы получим х как функцию от а и одной постоянной интегрирования а именно,

Так как выражаются через х, то мы получим отсюда

Дальнейшие примеры см. гл. IV, § 2, 3 и гл. VI, § 3, 3.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление