Главная > Физика > Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 3. Малые колебания системы около положения равновесия, или установившегося движения

1. Вывод и форма дифференциальных уравнений.

Рассмотрим систему с степенями свободы, положение которой определяется посредством координат по отношению к некоторой иперциальной системе. Пусть, далее:

есть частное решение уравнений движения; мы будем считать его "основным, движением". Введем терерь новых координат которые мы назовем относительйыми координатами по отношению к названному основному движению; они связаны с соотношениями:

и представляют собой отклонение произвольного положения от положения в основном движении в какой-либо момент времени. Так как уравнения преобразования (1) явно содержат время то уравнение движения в относительных координатах имеют вид гл. II, § 2, (11). Они отличаются еще тем, что в силу (1) основное движение должно быть решением. Если мы условимся обозначать черточкой, стоящей над функцией величин ее значение для основного движения то для выполнения указанного выше условия необходимо и достаточно чтобы Если мы исследуем движения вблизи основного движения, то мы можем представить их приближенно посредством дифференциальных уравнений, которые мы получим из упомянутых выше уравнений, разлагая все члены по степеням величин и удерживая только члены первого порядка. Если положить

то уравнения гл. II, § 2, (11) с указанными пренебрежениями принимают вид

Величины с черточками над ними являются, вообще говоря, функциями времени. Положим:

тогда дифференциальные уравнения (2) движения, близкого к основному движению примут вид:

Это система линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка для относительных координат коэффициенты которых, вообще говоря, являются функциями времени. Если время выпадает из коэффициентов, и они, следовательно, обращаются в постоянные, то уравнения (4) называются "дифференциальными уравнениями Малых колебаний". Так например, коэффициенты уравнений (4) наверняка постоянны, если основное движение является квазистатическим, такие координаты, что часть их представляет собой "скрытые" координаты, тогда как остальные остаются при основном движении постоянными Если силы не содержат сил сопротивления, то они не зависят от ; следовательно, и в силу гл. II, § далее во всяком случае и если силы зависят от потенциала V, т. е. то также Если основное движение сводится к положению равновесия, то также представляют собой координаты в инерциальной системе. Следовательно, и а значит

В каждом конкретном случае уравнение (4) можно проще всего вывести следующим образом: либо можно исходить из уравнений движения в координатах т. е.

ввести в них согласно уравнениям (1) величины разложить по степенях и ограничиться лишь членами первого порядка. Или же можно произвести подстановку (1) непосредственно в разложить по степеням и оставить лишь члены второго порядка. Тогда с помощью этой квадратичной формы, как функции Лагранжа, можно вывести уравнения движения. Что касается членов нулевого и первого порядка относительно то они частично выпадают при вычислении производных от входящих в уравнения движения, частично они должны обращаться в нуль потому, что значения представляют собой решение.

В качестве примера рассмотрим опять центральное движение в полярных координатах. Согласно § 1, 1, здесь Если мы будем исходить из квазистатического основного движения (§ 1, 2), положим и разложим по степенямр, о. сохра нив лишь члепы второго порядка, то, в силу соотношения получим:

Если составить уравнения движения, соответствующие то они имеют вид:

следовательно, имеют форму (4).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление