Главная > Физика > Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 4. Вынужденные колебания

1. Общее интегрирование дифференциальннх уравнений.

В то время в случае изученных в § 3 свободных колебаний механическая система выводилась из своего основного движения возмущением начальных условий и потом предоставлялась своим внутренним силам, теперь мы рассмотрим возмущение основного движения, которое вызывается внешними силами, заданными как функции от времени. Если мы опять ограничимся рассмотрением малых отклонений от основного движения, то уравнения § 3 (4) заменятся уравнениями

где через обозначены заданные функции времени. Уравнения (1) называют дифференциальными уравнениями вынужденных колебаний. Они представляют собой неоднородные линейные дифференциальные уравнения. Мы получим общее решение уравнений (1), если к частному решению их прибавим общее решение однородных уравнений .§ 3 (4). Так как последнее было найдено в § 3,

то нам нужно здесь найти только частное решение уравнений (1). Мы сделаем это в общем виде для того случая, когда силы представляют собой вещественные части показательных функций от времени, т. е. выражения вида:

где могут быть комплексными. При чисто мнимом это тригонометрические функции. Следовательно, если бы были произвольными периодическими функциями от времени, то о помощью разложения в ряд Фурье их можно было бы представить как сумму тригонометрических функций, и поэтому решение уравнений (1) — как сумму решений, которые мы получим, если вместо подставим отдельные члены разложения в тригонометрический ряд.

Очевидно мы получим искомое решение уравнений (1), если решим систему уравнений:

и разложим результат на вещественную и мнимую составные части. Первая них даст тогда искомое частное решение системы уравнений (1). Попытаемся удовлетворить, уравнениям (2), положив

при этом мы получим:

Мы получили линейных неоднородных уравнений для неизвестных Если мы обозначим через минор, соответствующий элементу взятый с соответствующим знаком, а через определитель из коэффициентов то решение (4) имеет вид:

следовательно, на основании (3), искомое решение системы (2) будет:

Это решение существует только в том случае, когда уравнении (4) имеют неравный нулю определитель т. е. когда характеристическое уравнение § 3 дифференциальных уравнений свободных колебаний имеет корней, совпадающих с Если в частности мы предположим, что величины вещественны, а чисто мнимое, то вещественные части правых сторон уравнений (2) будут а вещественные части выражений (6) дают решение уравнений (1) для Если мы разложим:

на вещественную и мнимую части, то подучим из (6) вещественное решение:

При этом и являются функциями которые можно вычислить из (7). Величины называются амплитудами, частотами возбуждающего колебания. Из (8) следует, что вынужденное колебание составляется из колебаний, частота которых совпадаете частотой возбуждающего колебания, по которые имеют сдвиг фаз и изменения амплитуд по сравнению с возбуждающим колебанием, зависящие от Решение (8) становится в общем случае неприменимым, если является корнем уравнения , т. е. если существует незатухающее собственное колебание с частотою возбуждающего колебания, т. е. с частотой Но так как к каждому решению уравнений (1) может быть прибавлено еще произвольное решение однородных уравнений § 3, (4), то постоянные в последнем можно выбрать таким образом, чтобы решение, получающееся при суммировании, оставалось конечным также и при Все эти результаты можно изучить подробнее на примере системы с одной степенью свободы.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление