Главная > Физика > Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2. Система с одной степенью свободы.

Рассмотрим частный случай, когда система (1) состоит только из одного уравнения:

Пусть опять представляет вещественную часть от Е, и мы рассмотрим сначала уравнение

Здесь имеем и решение (6) имеет вид:

Предположим опять, что вещественно, а чисто мнимое, тогда возбуждающее колебание определяется выражением Вынужденное колебание мы получим с помощью разложения, апалогичпого уравнению (7):

Умножая обе части на комплексно сопряженное выражение и извлекая квадратный корень, мы получим:

Умножая в левой части (12) числитель и зпаменатель на комплексно сопряженное выражение приравнивая в обеих частях вещественные и мнимые составные части и затем деля почленно мнимую часть на вещественную, мы получим:

Вещественное решение (9) при имеет тогда, согласно (11) и (12), вид:

где функции от определяемые уравнениями (13) и (14).

Среднюю кинетическую энергию вынужденного колебания мы вычислим совершенно аналогично § 3, (29), как среднее по времени от где имеет

значение, определяемое уравнепием (15). Таким образом, мы получим интенсивность колебания

Из уравнения (13) можно вычислить функцию Кривая, представляющая эту функцию, резонансная кривая, имеет максимум при резонансной тот Соответствующая резонансная интенсивность имеет, согласно (16) и (13), если принять в расчет соотношение значение:

Из (17) и (16) мы получим, полагая в

Отношение интенсивности колебаний к максимальной интенсивности зависит, следовательно, только от "акустического интервала" между возбуждающей частотой и собственной частотой системы. Падение от максимального значения тем резче, а резонанс тем острее, чем больше т. е. чем меньше затухание системы. При исчезающе калом затухании дробь в (18) была бы равна нулю, т. е. резонанс был бы совершенно острым. Но это происходит потому, что в таком случае, согласно (17), резонансная интенсивность Становится бесконечной и решение (15) при становится неприменимым. Однако, и в случае резонанса при незатухающих колебаниях можно найти решение, если принять в расчет, что от каждого решения уравнения (10) можно отнять решение соответствующего однородного уравнения, причем опять получается решение (10). Итак, положим тогда (11) имеет вид:

Так как есть собственная частота свободных колебаний, то Предположим, что это есть простой нуль; в таком случае Езли мы составим из (10) выражение

то это равносильно тому, что мы вычли решение однородного уравнения, соответствующее "свободным" колебаниям. Если мы разложим числитель и знаменатель в (20) по степеням и будем уменьшать до нуля, то мы получим:

Таким образом, мы получаем решение уравнения (10) при Отделяя вещественную часть, мы получим на основании соотношения вещественное решение:

При произвольном мы дадим решение уравнения (9) только для случая, когда Его можно получить из решения соответствующего однородного уравнения, например в форме § 3, (26), посредством метода вариации постоянных. Однако, мы предпочтем более наглядный путь (предложенный Томсоном и Тэтом). Мы будем исходить из решения однородного уравнения в форме § 3, (27). Если мы в нем будем попимать под и значения в момент х, то оно даст значение в момент I, если справа везде вместо вставить промежуток времени Таким образом, "свободное" колебание может быть представлено уравнением:

Если в момент х имеет место внезапное изменение скорости без изменения положения, то возникает "свободное" колебание, при котором отклонение точки от положения равновесия отличается от прежнего на

Если мы представим себе, что это изменение скорости вызвано действием силы в течение промежутка времени столь непродолжительного, что изменением положения за это время можно пренебречь, и нужно принимать в расчет только изменение скорости, то после интегрирования (вследствие соотношения при из уравпения (9) вытекает:

В пределе, когда за промежуток времени положение совсем не изменяется, интеграл справа называют "импульсом" за элемент времени

Далее, действие возбуждающей силы можно представлять себе таким образом, что весь промежуток времени от до разделяется на промежутки времени за каждый которых действует импульс, определяемый правой стороной уравнения (24), а в заключение нужно перейти к пределу, соответствующему малому Вставляя из уравнения (24) в выражение и суммируя по всем частичным промежуткам от до мы получим, переходя к пределу:

Хотя этот вывод является не строго математическим, а скорее наглядным, все же с помощью простой подстановки выражения (25) легко убедиться, что оно представляет собою частное решение уравнения (9) (при

Если прибавить к (25) решение однородного уравнения § 3, (27), то мы получим общее решение уравнения вынужденных колебаний, которое при переходит в начальные значения

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление