Главная > Физика > Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 5. Малые колебания и устойчивость

1. Общие критерии.

Если мы рассмотрим "постоянное" движение, такое, что соседний ему движения представляются линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами § 3, (4), то об устойчивости основного движения можно судить но корням характеристического уравнения § 3, (9). Характер возмущенного движения зависит от начальных условий лишь постольку, поскольку от начальных значений возмущения, т. е. от значений величин в момент зависит, какие из постоянных в решениях § 3, (14), отличны от нуля, и потому какие из затуханий и частот действительно входят в решение. Если все входящие отрицательны, то согласно § 3, (14), все с возрастанием стремятся к нулю; то же имеет место, если даже соответствующее является кратным корнем и приводит к решению вида § 3, (16). Следовательно, основное движение устойчиво относительно всех возмущений, которые приводят к появлению в решениях корней уравнения с отрицательной вещественной частью. Оно вообще устойчиво, если все корни имеют отрицательную вещественную часть. Это условие достаточно, но не необходимо; действительно, при исчезающей вещественной части решения § 3, (14) становятся чисто тригонометрическими функциями времени, и уменьшением возмущения можно произвольно уменьшить коэффициенты благодаря чему сами также могут на все время сделаться меньше любой заданной величины. Однако, это уже не имеет места, если решения имеют вид § 3, (16), так как при выражения вида увеличиваются до бесконечности при возрастании

Сопоставляя сказанное, мы можем формулировать следующие необходимые и достаточные условия устойчивости основного движения.

Корни уравнения § 3, (9) не должны иметь положительной вещественной части. Если вещественная часть равна нулю, то соответствующие корни должны быть или простыми корнями, или такими -кратными корнями, для которых определитель имеет как раз ранг та.

Частичная устойчивость для определенных возмущений наступает тогда, когда входящие в решение, выполняют указанные условия.

Важнейшим случаем устойчивости является тот, в котором есть уравнение Гурвица.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление