Главная > Физика > Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2. Скоростные координаты.

Если мы будем рассматривать движение твердого тела, при котором одна точка, а именно, начало С системы, связанной с телом, удерживается в начале неподвижной системы, и. с каждой точкой тела сопоставим вектор ее скорости относительно неподвижной системы, то в течепие элемента времени точка тела, определяемая вектором положения проведенным из неподвижной точки, пройдет бесконечно малый отрезок, который представится вектором Если обозначить расстояние точки от мгновенной оси вращения через то имеет абсолютную величину если через со обозначена мгновенная угловая скорость. Это площадь параллелограмма, образованного векторами где вектор по абсолютной величине равен и имеет направление оси вращения. Так как при вращении происходит перемещение перпендикулярное к плоскости обоих векторов то по определению векторного произведения скорость точки, вектор положения которой равен будет

Геометрическое значение заключается в следующем. Бесконечно малое движение есть вращепие около оси, направление которой есть направление вектора а угловая скорость определяется абсолютной величиной При этом вращепие, наблюдаемое со стороны стрелки происходит по часовой стрелке. Величину со называют "вектором угловой скорости.

Уравнение (3) можно истолковать еще следующим образом, если заменить производной от но I: оно дает нам изменение иснытываемое в течение элемента времени вектором исходящим из начала, если вектор жестко связан с телом, а последнее вращается со скоростью, определенной вектором Если вектор а испытывает в течение элемента времени изменение относительно системы, связапной с телом, то его изменение относительно неподвижной системы отличается от мтого: к нему прибавляется еще изменепие, которое вектор а испытывал бы в том случае, если бы он был постоянным по отношению к системе, связанной с телом, был бы с ней жестко связан. Поэтому, согласно (3):

Конечно, только изменения направления различаются в обеих системах, но не изменения величин, так как оба бесконечно малые изменения а различаются только на вектор, перпендикулярный к а.

Если, в частности, мы рассмотрим единичные векторы направленные по трем неподвижным осям, то их изменение относительно неподвижных осей равно пулю, и мы имеем:

Если обозначить составляющие относительно осей, связанных с телом, через то из (5) вытекает на основании формулы векторного произведения.

и аналогичные уравнения для Скороотное состояние Твердого тела может быть представлено производными но времени от координат положения, т. е. посредством или Но так как, согласно уравнениям (6), производные могут быть вычислены из трех величин и координат положения, то три составляющие вектора вращения со вместе с составляющими определяют скоростное состояние, причем обязательно нужно иметь в виду, что не являются производными но времени от координат положения. Однако, если заданы как функции от времени, то уравнения (6) можно рассматривать как дифференциальные уравнения для определения координат положения В таком случае мы имеем дело с системой дифференциальных уравнений первого порядка, которым должны удовлетворять как составляющие вектора а, так и составляющие векторов Мы должны, следовательно, найти три системы решений этих уравнений, между которыми имеют место соотношения (1), и те, которые получаются из них посредством дифференцирования Интегрирование системы (6) может быть сведено к интегрированию уравнения Ривкати

Обратно можно использовать три из девяти уравнений (6) (причем из этих трех самое большее два могут содержать составляющие а) для вычисления как функций направляющих косинусов и их производных, потом вставить выражения из (2) и выражения получающиеся из (2) посредством дифференцирования, и тогда мы получим:

Значения, полученные из 3-х уравпепий (6), на основании могут противоречить остальным уравнениями и получающимся из них посредством дифференцирования соотношениям Решая (7), мы получаем:

Следовательно, если заданы как функции времени, то (8) представляют собой три дифференциальные уравнения первого порядка для определения углов Эйлера

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление