Главная > Физика > Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

5. Формальное обобщение математических выражений (исчисление моторов).

Уравнениям движения твердого тела можно придать большую наглядность и для некоторых целей большее удобство для применений, если сделать еще шаг вперед в том направлении, которое ведет от способов рассмотрения скалярных величин к векторному исчислению. В то время как, применяя векторные понятия, мы делаем соотношения независимыми только от выбора определенных координатных направлений, введение Мизесом аналогичного понятия мотора делает их независимыми также от выбора начала координат

Система сил, действующая на твердое тело, задавалась выше главным вектором к и главным моментом отнесенным к определенной начальной точке Если мы перейдем к новой точке отсчета то новый момент будет:

В таком же соотношении, как и к находятся друг к другу скорости обеих точек отсчета и вектор угловой скорости

Будем рассматривать а также как первую и вторую векторные составляющие "силового мотора" аналогично, и соответственно

как две векторные составляющие "мотора скорости" Мотор есть величина, имеющая шесть составляющих, его скалярные составляющие от до и соответственно от до зависят от начала координат и направления координат, а векторные составляющие — только от начала координат. Мы выберем обозначения так, чтобы были составляющими главного вектора составляющими главного момента аналогично: составляющими составляющими В более старом чисто геометрическом понимании механики твердого тела понятию мотора силы соответствует понятие динамы или силового винта, а понятию мотора скорости — понятие винта движения.

Определим как сумму двух моторов мотор С, скалярные и векторные составляющие которого равны суммам соответствующих составляющих следовательно совершенно аналогично должно означать, что при

Броме мотора силы и скорости тела основную роль играет еще мотор количества движения. Для одной единственной точки с массой скоростью и радиусом-вектором количество движения имеет векторные составляющие Как мотор количества движения твердого тела мы определим сумму отдельных количеств движения, т. е. мотор с первой составляющей и второй составляющей причем суммирование распространяется на все элементы тела. Тогда полный закон движения твердого тела гласит:

или, на словах: производная мотора количества движения по времени равна мотору силы.

Если мы напишем (27) в форме и вставим это в выражение для векторных составляющих то мы увидим, что мотор количества движения есть линейная функция мотора скорости, коэффициенты которой зависят от следующих десяти сумм (интегралов):

1) полной массы

2) трех статических моментов или координат центра тяжести а именно:

3) трех моментов инерции

4) трех центробежных моментов инерции

Если мы обозначим через составляющие скорости у точки отсчета, через -составляющие , то мы получим:

Так как являются не чем иным, как скалярными составляющими мотора скорости , то (29) можно написать в форме

(где вместо значков 7, 8, 9 нужно вставить 1, 2, 3 в порядке циклической перестановки), при этом магрица выглядит следующим образом:

Аналогично нонятию диады, мы назовем (30) схемой моторной диады, которую мы назовем диадой инерции выскажем (29) или (30) в простой форме: мотор количества движения есть произведение (моторной) диады иперции и мотора скорости

Чтобы использовать соотношения (28) и в их связи, мы введем еще два определения произведения в моторном исчислении. Мы назовем скалярным произведением моторов выражение:

Скалярное произведение моторов силы и скорости есть мощность скалярное произведение мотора количества движения и скорости есть удвоенная живая сила

Для мы получаем из (29) и (31) выражение:

Из двух произвольных моторов которых первые вторые векторные составляющие равны мы образуем далее моторное произведение полагая, что первая и вторая векторные составляющие соответственно равны

Главное применение моторного произведения аналогично применению уравнения (4). Если мотор А остается неизменным в системе, движущейся со скоростью то по отношению к неподвижному пространству изменяется в единицу времени на следовательно, из уравнения (4) вытекает, если рассматривать общее движение, а не простое вращение:

Легко убедиться с помощью векторных формул в том, что определения произведения (31) и (34) инвариантны относительно изменения точки отсчета и удовлетворяют обычным законам умножения, например переместительпому закону

Если помножить левую сторону (28) скалярно на О, использовать формулу дифференцирования (35) и затем только что указанное переместительное

соотношение, принять в расчет, что, согласно наконец, что неизменно в системе, связанной с движущимся телом, то мы получим:

Симметрия имеет следствием то, что в последнем выражении порядок умножений может быть изменен, так что можно положить

Но первое выражение в (36) и последнее в (37) представляют собой обе части производной по времени. Так как на основании (36) и (37) они равны друг другу, то мы тем самым вывели из (28) уравнение энергии твердого тела:

Однако, важнее исследовать несколько дальше саму общую форму уравнения движения. Если применить формулы дифференщгоования (35) к (28), то мы получим:

Шесть скалярных составляющих уравнений, соответствующих уравнению (39), можно написать чисто механически по вычислительным правилам, содержащимся в (30) и (34). Мы дадим только первое и четвертое, так как остальные можно легко получить посредством круговой перестановки всех переменных. При этом мы обозначим производные по времени точками, поставленными над переменными; пусть составляющие к будут, как и в а составляющие по прежнему В таком случае:

Мы видим, что уравнения (40) переходят в "уравнения центра инерцйи" (25) если положить х, у, равными нулю, и что из (41) получаются "уравнения Эйлера" (22), если кроме того положить т. е. если в качестве координатной системы, связанной с телом, выбрать систему главных осей. В некоторых случаях, например, когда приходится иметь дело с телами, соприкасающимися в отдельных точках, необходимо исходить из более общего предположения (40), (41).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление