Главная > Физика > Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

4. Симмеричный волчок.

Теперь мы будем рассматривать уже не тот случай, когда все три главных момента инерции различны, а предположим, что два из них равны:

В таком случае тело называется симметричным волчком, а ось "осью тела". При этом система главных осей инерции уже не будет однозначно определенной; все прямые в плоскости проходящие через начало, будут равноправны. В этом случае выражение для живой силы § 1, (45), если попрежнему будем представлять себе, что одна, точка остается неподвижной будет:

Так как вследствие отсутствия внеганвх сил то представляют собой скрытые координаты в смысле гл. § 1, 1, а - угол между осью тела и неподвижной осью единственную видимую координату. На основании § 1, 2 мы получим со квазистатических движений, если положим, что постоянны:

При этом должно иметь место соотношение ; это выражение можно вычислить из (30) посредством дифференцирования и потом в него нужно вставить значения (31). В таком случае соотношение примет вид:

Если не иметь в виду тривиальных случаев то отсюда вытекает:

Следовательно, движение заключается в том, что волчок вращается с постоянной угловой скоростью около оси тела, а последняя одновременно описывает с постоянной угловой скоростью круговой конус с углом около неподвижной оси Такое движение называют регулярной прецессией. Интегрируя (31), мы получим явные формулы:

Эти формулы содержат четыре произвольные постоянные так как может быть на основании (33) выражено через Но так как в пространстве нет никакогв выделенного направления, то каждую прямую, проходящую через неподвижную точку, можно выбрать в качестве оси . Так как для определения направления необходимы две постоянные, то мы получим из (34), изменяя ось , решение с шестью произвольными постоянными. Но это и есть самое общее решение трех дифференциальных уравнений второго порядка для 9, й. Следовательно, в случае симметричного волчка все движения могут быть получены из рассмотрения квазистатических движений. Существуют только регулярные прецессии.

Наконец, если мы имеем дело с "шаровым волчком", в котором все три главные момента инерции равны друг другу, то в нем существуют только равномерные вращения около неподвижных осей.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление