Главная > Физика > Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

3. Нахождение световых лучей при помощи эйконала, касательные преобразования.

Если радиус-вектор и нормальный вектор удовлетворяют уравнению (47) § то они определяют некоторый световой луч. Если крез обозначить радиус-вектор и нормальный вектор в какой-либо точке то эти величины удовлетворяют уравнениям (8) и (5). Поэтому при заданных По выражения

южно рассматривать как уравнения радиуса-вектора и нормального вектора некоторого светового луча. Так как функция удовлетворяет уравнению йконала , и, следовательно, векторы удовлетворяют уравнению (47) § 1, то уравнения (27) дают только пять соотношений между шестью оставляющими векторов Таким образом, из этих уравнений можно получать как функции от и одного параметра. Уравнения (26) можно

рассматривать как каноническое преобразование от переменных к переменным и наоборот. С помощью такого преобразования система канонических уравнений световых лучей [см. § 1, (66), (67)] переходит в систему уравнений того же вида для переменных ,

причем

В случае, если переменные связаны преобразованием (26), причем величина удовлетворяет уравнению эйконала то

следовательно, уравнения (27) можно легко проинтегрировать. Интегрирование показывает, что векторы , вдоль светового луча постоянны. Таким образом, при постоянных уравнение (27) действительно является уравнением световых лучей. Если мы нашли решение уравнения эйконала, которое не есть точечный эйконал, но так же как и последний зависит от трех постоянных т. е. имеет вид то формулы

определяют каноническое преобразование, и уравнения (30) на основании тех же соображений представляют собой при постоянных уравнения светового луча.

Уравнения (27) можно также рассматривать как частный случай касательного преобразования. В этом случае преобразуемый элемент представляет собой элемент поверхности в четырехмерном пространстве Координаты элемента тогда равны или в векторных обозначениях: в.

Касательное преобразование определяется тем, что "объединенные" элементы преобразуются в такие же. Два элемента называются "объединенными", если удовлетворяется условие

Но так как [см. § 1, (56) и (44)], то это означает, что

Если то и элементы представляют собой смежные элементы одной и той же волновой поверхности Если же то равенство (32) означает, что оба элемента при распространении света в рассматриваемой среде переходят друг в друга за время Они являются соседними элементами одноге и того же светового луча. Совокупность элементов, т. е. гиперповерхность четырехмерного пространства, образуется из элементов волновой последовательности.

Легко видеть, что равенства (27) определяют касательное преобразование. В самом деле мы, имеем тождество:

и вследствие (27):

Но это равенство является условием касательного преобразования в том случае, когда переменная не входит в уравнения преобразования, а это обстоятельство как раз и имеет место в уравнениях преобразования (27).

Мы уже имели случай убедиться в том, что уравнения (27) преобразуют начальный элемент и светового луча в некоторый другой элемент того же луча. Мы можем для нашего касательного преобразования ввести понятие бесконечно малого преобразования, которое преобразует некоторый элемент в соседний элемент; например, элемент светового луча преобразует в соседний элемент Если значения параметра в двух таких соседних точках светового луча отличаются друг от друга на величину то переход между этими двумя элементами совершается с помощью канонических уравнений (71) § 1. Если параметром служит длина дуги о, то будут иметь место уравнения (73), которые, следовательно, представляют собой бесконечно малое касательное преобразование. Поэтому мы можем при помощи повторного применения бесконечно малого преобразования получить группу касательных преобразований, зависящую от одного параметра. Эта группа в нашем случае состоит из всех касательных преобразований, которые преобразуют каждый элемент светового луча в элемент того же луча.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление