Главная > Физика > Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

3. Постоянные (перманентные) движения и малые колебания.

Исследуем сначала движения, которые происходят строго поступательно в направлении оси пропеллера Центр тяжести должен двигаться прямолинейно с постоянной скоростью и углом подъема В таком случае следует:

Уравнение (12) удовлетворяется тождественно, что по существу является следствием предположения

При заданном и весе получаются определенные значения для

В частности для горизонтального полета

называется углом скольжения. Рассмотрим теперь движения, близкие к описанному горизонтальному полету, т. е. положим в (11), где V нужно взять из (15), и предположим, что малые величины, квадратами которых можно пренебречь. Разделим затем уравнения (11) на нримем в расчет (15) и учтем, что у действительных самолетов малы по сравнению с далее мало по сравнению и приблизительно равно С. Тогда из (11) вытекает:

Точно так же из (12) следует, если ввести радиус инерции х посредством соотношения

Уравнения (16), (17) представляют три линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами для определения а, т. е. систему вида гл. III, § 3, (4). Они выражают малые колебания около горизонтального равномерного прямолинейного полета, который поэтому может рассматриваться как постоянная траектория (в смыоле гл. III, § 3,1). Для интегрирования мы сделаем, как и в гл. III, § 3, (7), предположение:

При этом для определения X получится, аналогично III, § 3, (9:

Если мы развернем определитель и введем сокращения:

то, так как мало по сравнению с С, мы получим для новой переменной х, заменяющей X, уравнение 4-й степени:

Если (20) имеет четыре различных корня, то, согласно гл. мы получим четыре частных решения уравнений (16), (17), наложение которые дает решение с четырьмя произвольными постоянными. Так как продольное движение самолета определяется координатами то оно имеет три степен! свободы; движение зависит от шести произвольных постоянных. Две недостающие даются значениями координат положения центра тяжести в начале движения. Значения этих координат для произвольных значений следуют тогда из уравнение , которые после введения решения (16) и (17 могут быть проинтегрированы в квадратурах.

Мы дадим решение только для частвого случая. Пусть посредством особого закрепительного устройства центр тяжести удерживается неподвижным и на самолет дует горизонтальный воздушный поток со скоростью В таком случае (см. рис. 6) движение центра тяжести, определяемое уравнениями (16, устраняется внешними силами, и остается только вращение около центра тяжестг согласно (17). С обозначениями (19) уравнение (17) получает вид:

Решение представляет, согласно гл. III, § 3 (22), (23), (24), затухающее колебание, если Частота колебания логарифмический декремент Если самолет вначале находился в покое то действует момент, пропорциональный Он возвращает самоле в положение покоя, если Вэтом случае самолет называют статическг устойчивым. Если бы момент вращения в продолжение всего колебания опре делялся этим выражением (следовательно, то мы имели бы незатухающие колебания частоты Величину называют моментом стабилизации, моментом затухания.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление