Главная > Физика > Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

3. Вырожденные системы.

Совсем иначе действует возмущение на траектории вырожденной системы. Предположим, что наша невозмущенная система с и степенями свободны -кратно вырождена в смысле гл. § 6, 3, т. е. она периодична в точности -кратно, причем Введем переменные состояния, определенные в заключении гл. II, § 6, 3, несобственные угловые переменные затем собственные соответствующие переменные действия Тогда движение невозмущенной системы на основании гл. II, § 6, (15) определяется уравнениями:

где постоянные интегрирования и

Если теперь все траектории невозмущенной системы периодичны только -кратно, то величины вообще не содержатся в Если, наоборот, только та траектория, которая рассматривается как исходная траектория возмущения, вырождена в предположенной степени, то а следовательно, согласно (26), также зависят от и только при

Если мы выразим возмущающую функцию определенную уравнением (15), в этих обозначениях, то сумма, стоящая в правой части, вполне может содержать члены, в которых коэффициенты всех собственных угловых переменных обращаются в нуль, т. е. члепы, которые, так же как и остаются постоянными при невозмущенном движении.

Поэтому мы вынесем эти члепы за знак суммирования и напишем:

В этой сумме уже не содержатся члены, в которых все к равны нулю. Если мы обозначим их для краткости через и положим:

то дифференциальные уравнения (16) возмущенного движения распадаются на две группы:

Если мы сделаем относительно величин предположения, аналогичные (4), причем в качестве невозмущенного движения положим в основу уравнения (25), то из (30) для первого приближения получается точно такой же вид (22), как и из уравнений (16). Действительно, коль скоро для и будут вставлены постоянные значения (нулевые приближения), уравнения и (16) имеют одинаковый вид. Следовательно, постоянные траектории изменяются в первом приближении опять только на периодические члены, под которыми подразумеваются теперь члены вида:

где остаются при движении постоянными. Среднее значение таких членов за приближенный период невозмущенного движения опять равно нулю.

Если мы, наоборот, в правую часть (31) вставим нулевое приближение (25), то члены, содержащие В, будут постоянны, члены, содержащие периодичны и интегрирование даст в первом приближении:

Следовательно, величины постоянные при невозмущепном движении, испытывают только периодические, по также и вековые возмущения. Эти возмущения происходят также только от первых членов в правой части (31). Поэтому называют вековой частью возмущающей функции.

Если мы вставим первые приближепия для в правые части уравнений (30), (31) и для этой системы уравнений найдем второе следующие приближения по тем же точно методам, как и в 2 для уравнений (16), то мы придем точно так же, как и там, к результату, что в разложениях величин если принять в расчет только члены, происходящие от производных функции входят только периодические члены или такие, которые хотя и пропорциональны но при этом оказываются помноженными по крайней мере на это означает, что члены, происходящие от V, ничего не прибавляют к вековым возмущениям величин Точно так же ничего прибавляют и те выражения, происходящие от В, в которые вместо величин вставлены невековые члены; при этом постоянные во времени члены все время причисляются к вековым. Если совокупность всех вековых членов мы обозначим и соответственно то на основании вышесказанного мы их получим и в том случае, если в системе (30), (31) все члены с совсем зачеркнем, а в В вместо вставим Следовательно, вековые возмущения являются решениями следующей системы дифференциальных уравнений:

Если мы будем искать такие решения этой системы уравнений, которые при сводятся к то из первых (а уравнений мы сразу получим т. е. величины остаются при вековом возмущении постоянными, Эти значения можно вставить в остальные уравнения, причем для вычисления вековых возмущений получается система из совокупных дифференциальных уравнений первого порядка относительно переменных Если мы в правые части везде подставим нулевое приближение, то, интегрируя, мы получим первое приближение:

в точности совпадающее с (32), если в нем опустить периодические члены и постоянные

Сопоставляя все сказанное, можно сказать, что переменные действия соответствующие собственным угловым переменным, не испытывают вековых возмущений также и в случае вырожденных систем. Наоборот, несобственные угловые переменные и соответствующие им переменные действия испытывают вековые возмущения которые в первом приближении определяются уравнениями (34), в общем же случае удовлетворяют дифференциальным уравнениям (33).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление