Главная > Физика > Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 2. Возмущения упругих колебаний

1. Возмущающая сила нронорциопальна второй степени отклонения.

Рассмотрим теперь в качестве простого примера материальную точку, колеблющуюся в плоскости около начала координат. Пусть ее прямоугольные координаты будут ее масса 1. Как невозмущенное движение, мы будем рассматривать чисто упругие колебания, гамильтонова функция которых имеет на основании гл. II, § 5 (19) вид:

Для этой системы, согласно гл. I, § 5, 4, можно ввести соответствующие угловые переменные и переменные действия. Из касательного преобразования гл. II, § 6 (22):

вытекает:

Тот случаи, когда сила не удовлетворяет в точности закону пропорциональности Гука, а содержит также член — пропорциональный квадрату отклонения, при малом X, мы моле ем изучать по методу вычисления возмущений, изложенному в § 1. В этом случае гамильтонова функция II полной системы имеет вид:

Вели ввести в (4) величины согласно (2), то мы получим формулу, соответствующую формуле § 1, (14), причем

получается из (4) и (2) с помощью формулы В таком случае, согласно § 1 (10), дифференциальные уравнения возмущенного движения имеют вид:

При этом так как, согласно (3), производные по от не зависят от В таком случае нам нужно в правой части везде подставить нулевое приближение и мы получим посредством иптегрировапия соответственно § 1, (22), первое приближение:

При этом постоянные интегрирования определены таким образом, что при имеют место равенства В противоположность Общему случаю § 1, (22), здесь т. е. частоты колебания в первом приближении испытывают под влиянием возмущения никакого изменения. Согласно § 1, (21), это зависит от того, что в нашем случае, в силу (5), вековая часть возмущающей функции и величины v - не зависят от Величины возмущенного движения отличаются от соответствующих величин при чисто упругом колебании только на "периодические" члены, если не считать того, что постоянные траектории сами изменяются на малые величины и

Траектория опять заполняет повсюду плотно прямоугольник плоскости если мы предположим; что невозмущенное движение невырождено и, следовательно, в точности двукратно периодично. В силу (2), мы можем из (7) получить также приближенные формулы для самих прямоугольных координат Если

мы разложим формулы для полученные подстановкой выражений (7) в (2), около точек и сохраним только члены первого порядка, то после простых тригонометрических преобразований мы придем к следующему результату:

Следовательно, возмущенное движение совершается уже не около начала координат, как центра, по прямоугольник, заполненный траекторией, лежит симметрично относительно точки с прямоугольными координатами Это смещение зависит от следовательно от амплитуды упругих колебаний, оскулирующих в момент времени t = 0. Возиущающая функция здесь выбрана таким образом, что даже в случае вырождения невозмущенной системы, следовательно, в случае простого периодического упругого колебания (например, разложения (7) не содержат вековых членов.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление