Главная > Физика > Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2. Вычисление выражения энергии.

Энергия каждой механической системы может быть, согласно гл. II, § 2, 6, представлена как функция постоянных, от которых зависят траектории. Однако, если постоянных являются значениями инволюционной системы интегралов, то, согласно гл. II, § 4, (40), энергия может быть представлена только через эти постоянных. Такие постоянных представляют собой также переменные действия соответствующие системе, в функции от которых может быть представлена энергия, согласно гл. II, § 5, (37). Назовем это представление кратко выражением энергии. Изложенный в 1 метод был выработан Борном и Паули (согласно с идеей Н. Бора и Крамерса),для вычисления выражения энергии возмущенной системы. Первый член в разложении получается согласно (5) простой подстановкой величин вместо в энергию невозмущенного движения. Если подставить в (6) для его выражение § 1, (15) и принять в расчет, что в силу своих свойств периодичности, также должны иметь вид и поэтому производные от по могут содержать только члены, периодические относительно то можно очень просто проинтегрировать по всем от 0 до и разделить на При этом мы получим:

так как интегралы по периодическим членам обращаются в нуль. Следовательно, в первом приближении выражение энергии возмущенного движения можно получить без всякого интегрирования в форме:

К энергии невозмущенного движения прибавляется непериодический (вековой) член возмущающей функции. Вставляя согласно (8) в (6), мы получим отсюда на основании § 1, (15):

При этом

Очевидно, что линейное дифференциальное уравнение в частных производных (10) имеет решение:

Если мы подставим это значение в (7) и опять вычислим для всех среднее значение за период , то при этом пропадут все члены, зависящие от усреднения по периодическим, членам (т. е. те, которые линейны относительно производных от и остается:

При этом черта сверху означает усреднение в прежнем смысле. Его результатом являются опять непериодические члены. Действительно, хотя производные от и сами периодичны относительно все же при умножении и разложении в тригонометрические ряды могут получиться непериодические члены, как например: Характерное преимущество метода Борна и Паули заключается в том, что для вычисления величину вообще не нужно вычислять, для вычисления нужно вычислить только Очевидно, вычисление может быть продолжено дальше и дает выражение энергии с любой точностью. Способ неприменим только в том случае, когда невозмущенная система вырождена, потому что тогда между ее частотами имеют место соотношения вида: благодаря которым некоторые знаменатели разложений (11) могут обратиться в пуль.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление