Главная > Математика > Экстремумы случайных последовательностей и процессов
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2.2. Асимптотическое распределение k-х наибольших значений

Здесь и в дальнейшем мы будем использовать обозначение для наибольшего значения среди как и выше, обозначение для числа тех из которые превышают Нетрудно убедиться, что события равносильны, поскольку если выполняется первое, то наибольшее из не превосходит и поэтому не более чем из превосходят так что и наоборот. Таким образом,

Используя это соотношение, можно сразу переформулировать теорему 2.1.1 следующим образом.

Теорема 2.2.1. Пусть последовательность н. о. р. с. в. Если удовлетворяет (1.5.1) для некоторого то

Обратно, если (2.2.2) выполняется для некоторого фиксированного то выполнено (1.5.1) и (2.2.2) выполняется для всех

Мы можем еще раз переформулировать этот результат, с тем чтобы выразить асимптотическое распределение через соответствующее распределение для

Теорема 2.2.2. Предположим, что

для некоторой невырожденной (и поэтому принадлежащей типу I, II или III) ф. p. G. Тогда для каждого

где (и имеет место сходимость к нулю, если Обратно, если для некоторого фиксированного

для некоторой невырожденной то должна иметь форму правой части (2.2.4), где (2.2.3) выполняется с теми же самыми (Поэтому (2.2.4) выполняется для всех

Доказательство. Если (2.2.3) выполнено, то (2.2.2) выполняется с Тогда по теореме 2.2.1 соотношение (2.2.2) выполняется для всех справедливо (2.2.4).

Обратно, если (2.2.5) выполнено для некоторого фиксированного и задано х, то можем, очевидно, найти такое что

поскольку эта функция непрерывна и убывает от 1 до при возрастании Следовательно, (2.2.2) выполняется для этого а значит, по теореме 2.2.1 и для всех включая что дает (2.2.3) с (невырожденность ф. p. G ясна).

Мы видим, что для н. о. р. случайных величин всякое предельное распределение наибольшего значения имеет вид

(2.2.4), в основе которого лежит та же самая ф. p. G, которая применима для максимума, и, более того, нормализующие константы одни и те же для всех включая (собственно максимум). Таким образом, мы имеем полное описание возможных невырожденных предельных законов.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление