Главная > Оптика > Оптическая голография, Т.1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2.1.6. Преобразование Меллина

Преобразование Меллина определяется в виде [24]

где комплексная переменная; и если для некоторого

то функция

является обратным преобразованием Меллина для любого Для двумерного случая преобразование Меллина определяется аналогично; мы имеем следующее выражение:

где мнимые аргументы.

Преобразование Меллина используется в анализе линейных оптических систем, не являющихся пространственно-инвариантными [22], и при восстановлении изображений после неоднородного смаза [231, поскольку модуль этого преобразования некоторой функции инвариантен по отношению к изменению масштаба данной функции [31; точно так же фурье-образ некоторой функции инвариантен относительно ее сдвига. В обоих случаях в преобразование вводится постепенное линейное изменение фазы, или фазовый наклон.

Следует заметить, что изменение переменной по логарифмическому закону представляет собой преобразование линейного изменения

масштаба в сдвиг оригинала. Используя замену можно показать, что преобразование Меллина функции эквивалентно двустороннему преобразованию Лапласа функции от гл. 12]. В случае чисто мнимого аналогичное соотношение имеет место между преобразованиями Меллина и Фурье.

В оптике широко используется инвариантность преобразования Меллина по отношению к изменению масштаба. Применяя это преобразование к оптическим системам, функция рассеяния которых не изменяет своей формы, но меняется соответствующим образом лишь ее величина, мы получаем систему, которую можно проанализировать с помощью линейного метода, инвариантного к сдвигу. Совместное использование преобразований Фурье и Меллина позволяет создать оптические корреляторы, нечувствительные не только к сдвигам, но также и к изменениям масштаба между объектным и опорным сигналами [9].

2.1.6.1. Некоторые теоремы преобразования Меллина

Для данной пары можноо записать следующие пары преобразования Меллина:

Кроме того,

В более общем случае, если преобразование Меллина функции то

Определяя свертку Меллина как

получаем, что преобразуется в

2.1.6.2. Некоторые пары преобразования Меллина

Другие пары преобразования Меллина см. в книге Брэйсуэлла 15]. Преобразование Меллина довольно подробно рассмотрено Снеддоном [24].

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление