Главная > Оптика > Оптическая голография, Т.1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2.1.5. Преобразование Гильберта

Пара уравнений

и

определяет соответственно прямое и обратное преобразования Гильберта 125]. В отличие от других функций и их преобразований, которые определяются в сопряженных областях, здесь являются функциями от Между существует несимметрично-обратное соотношение (обратное, если исключить знак минус); говорят, что

сопряжена с сопряжена Функцию иногда называют функцией квадратуры, соответствующей

Очевидно, что прямое и обратное преобразования Гильберта представляют собой операции свертки соответственно с Это приводит к особенно простому соотношению между в пространстве координат преобразования Фурье. Если фурье-образами этих функций являются и то связана с соотношением

где функция принимает значения 1 при и —1 при

Преобразование Гильберта представляет собой полезную аналитическую операцию, которая связывает любую вещественную функцию с комплексной функцией Можно показать, что спектр этой последней функции является односторонним фурье-спектром (нулем при а во всем остальном тождествен спектру функции во многом также связаны между собой функции Таким образом, с помощью преобразования Гильберта принцип фазорного анализа обобщается и на немонохроматические сигналы.

Это преобразование играет также важную роль при описании спектров временных сетей и фильтров, которые должны иметь однозначные импульсные характеристики. Поскольку на импульсные характеристики оптических систем не накладывается ограничений, в оптических исследованиях такой метод, к сожалению, не нашел себе применения. Тем не менее, используя преобразование Гильберта, можно изучать некоторые оптические методы, например шлирен-метод воспроизведения фазовых объектов путем введения теневого ножа для вырезания части оптического спектра [13].

2.1.5.1. Соотношения в случае преобразования Гильберта

Если преобразование Гильберта связывает функции то оно связывает также следующие пары:

Преобразованием Гильберта свертки являются также Кроме того, справедливы следующие соотношения:

2.1.5.2. Некоторые пары преобразования Гильберта

Другие пары преобразования Гильберта можно найти в работе Брэйсуэлла [5], в которой также подробно рассматривается само преобразование. В работе Титчмарша [25, гл. 5] имеется больше математических подробностей.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление