Макеты страниц § 5. О построении некоторых однородных выражений циркулем и линейкойПользуясь понятием однородной функции, нетрудно выделить некоторые классы алгебраических выражений, которые могут быть построены циркулем и линейкой. Построение этих выражений производится с помощью основных построений, рассмотренных в § 2. 1. С помощью циркуля и линейки можно строить однородные алгебраические выражения 1-го измерения, которые образованы из длин данных отрезков исключительно с помощью действий умножения и деления. Общий вид такого выражения: Задача сводится к последовательному выполнению построений по формулам
т. е. к построениям четвёртых пропорциональных отрезков (§ 2, п. 6).
Рис. 185. Это построение удобно осуществить следующим образом (рис. 185): из произвольной точки О проводим и лучей; на каждом луче строим две точки
На последнем луче откладываем Тогда В частности, всегда можно построить циркулем и линейкой отрезки, заданные формулами вида
2. Пусть
Частный пример построения подобного выражения мы рассмотрели в § 2 (см. прим. 6). Использованный там приём применяется и в общем случае. Многочлен
где Пусть
Каждое такое выражение можно построить (как указано в п. 1), после чего легко строится и сумма таких выражений. Обозначим полученный отрезок через у, так что Таким образом, с помощью циркуля и линейки можно построить отрезок, длина которого задана в виде любой рациональной однородной функции 1-го измерения (с рациональными коэффициентами) от длин данных отрезков. 3. Циркулем и линейкой всегда можно построить выражение вида выражение — однородная рациональная функция 2-го измерения Пусть
Строим последовательно отрезки Пример. Пусть требуется построить выражение Общий приём построения отрезка, заданного однородной функцией 1-го измерения от длин данных отрезков, заключается в том, Что мы выделяем последовательно однородные выражения 1-го измерения, которые можно построить как указано в § 2 пп. 1—10. Именно так мы и поступали при рассмотрении построений, указанных в пп. 1—3 этого параграфа. Пример. Представим заданное выражение в виде 1-го измерения:
|
Оглавление
|