Главная > Разное > Геометрическая теория управления
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

ПРИЛОЖЕНИЕ

В этом приложении мы докажем несколько технических предложений из гл. 2.

1. Гомоморфизмы и операторы в ...

Лемма 1. На любом гладком многообразии существует такая функция что для любого найдется компакт для которого

Доказательство. Пусть есть разбиение единицы на М: функции имеют компактные носители образующие локально конечное покрытие и

Тогда функцию можно взять в качестве а.

Напомним и докажем предложение 2.1.

Предложение 2.1. Пусть нетривиальный гомоморфизм алгебр.

Тогда существует такая точка что

Доказательство. Возьмем гомоморфизм Тогда множество

есть максимальный идеал в Далее, для любой точки множество функций

есть идеал в Для того чтобы доказать данное предложение, покажем, что

для некоторой точки Тогда

От противного: предположим, что для любой точки Это значит, что

Изменяя, если необходимо, знак получаем, что

Зафиксируем функцию а, существующую по лемме 1. Обозначим тогда

Более того,

Выберем конечное покрытие компакта К окрестностями как в (2):

и пусть есть разбиение единицы, подчиненное следующему покрытию многообразия М:

Построим функцию, определенную глобально на М:

Так как

имеем

Но с получаем противоречие. Включение (1) доказано так же, как и данное предложение.

Теперь сформулируем и докажем теорему о свойствах регулярности для композиции операторов на в частности для неавтономных векторных полей или потоков на

Предложение 1. Пусть непрерывные по семейства линейных непрерывных операторов на

Тогда композиция также непрерывна по Если вдобавок семейства дифференцируемы при то семейство также дифференцируемо при и его производная удовлетворяет правилу Лейбница:

Доказательство. Для доказательства непрерывности необходимо показать, что для любой функции следующее выражение стремится к нулю при

В силу непрерывности семейства второе слагаемое при Так как семейство непрерывно, множество функций лежит в любой заранее выбранной окрестности

нуля в для достаточно малого Для любого семейство локально ограничено, а поэтому и равностепенно непрерывно по теореме Банаха-Штейнгауза. Следовательно, при Непрерывность семейства доказана.

Дифференцируемость и правило Лейбница доказываются аналогично с помощью разложения

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление