Главная > Разное > Геометрическая теория управления
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

5.3. Следствия теоремы об орбите

Перед тем как доказать теорему об орбите, мы получим несколько следствий из нее.

Пусть орбита семейства

Во-первых, если то для всех Действительно, траектория принадлежит орбите поэтому ее касательный вектор содержится в касательном пространстве

Далее, если то для всех Это следует из того, что вектор касается траектории

Аналогично, для трех векторных полей имеем Действительно, так как то все траектории поля начинающиеся в погруженном подмногообразии не покидают его. Затем повторяем рассуждение, приведенное в предыдущем абзаце.

Можно продолжать таким образом и далее и получить скобки Ли сколь угодно высокого порядка

как касательные векторы к при Эти рассуждения естественно суммируются в терминах алгебры Ли векторных полей, порожденной семейством Т:

и пространства, образованного значениями этих векторных полей в точке

Получаем следующее предложение.

Следствие 5.1. Для любой точки

Замечание. Мы покажем вскоре, что во многих важных случаях включение (5.2) обращается в равенство. В общем случае получаем оценку сверху

Из теоремы об орбите также вытекает следующее предложение, часто использующееся в теории управления.

Теорема 5.2 (Рашевский-Чжоу). Пусть связное гладкое многообразие, и пусть Если семейство вполне неголономно:

то

Определение 5.2. Семейство удовлетворяющее свойству (5.3), называется вполне неголономным или семейством полного ранга.

Докажем теорему 5.2.

Доказательство. По следствию 5.1 равенство (5.3) означает, что любая орбита открытое подмножество

Далее, рассмотрим следующее отношение эквивалентности в М:

Многообразие есть объединение взаимно непересекающихся классов эквивалентности. Любой класс является открытым подмножеством многообразия Но связно, поэтому существует лишь один непустой класс эквивалентности, т. е. совпадает с единственной орбитой

Для симметричных семейств множества достижимости совпадают с орбитами, поэтому получаем следующее предложение.

Следствие 5.2. Симметричное вполне неголономное семейство векторных полей на связном многообразии вполне управляемо.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление