Главная > Разное > Геометрическая теория управления
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

8.3. Устойчивость по Пуассону

Определение 8.2. Пусть полное векторное поле. Точка называется устойчивой по Пуассону для поля если для любого и любой окрестности точки существуют точка и момент времени такие, что

То есть все траектории не могут навсегда покинуть окрестность устойчивой по Пуассону точки, некоторые из них обязаны возвращаться в эту окрестность в сколь угодно далеком будущем.

Замечание. Если траектория периодическая, то точка устойчива по Пуассону для поля

Определение 8.3. Полное векторное поле называется устойчивым по Пуассону, если все точки многообразия устойчивы по Пуассону для

Условие устойчивости по Пуассону кажется довольно ограничительным, но тем не менее в приложениях оно часто выполняется (см. ниже теорему Пуанкаре).

Выясним, что означает устойчивость по Пуассону для задачи управляемости.

Предложение 8.2. Пусть система полного ранга. Если векторное поле устойчиво по Пуассону, то поле — совместимо с системой

Доказательство. Зафиксируем произвольную точку и момент времени Чтобы доказать предложение, аппроксимируем точку достижимыми точками.

Так как система имеет полный ранг, можно выбрать открытое множество сколь угодно близко к Тогда множество будет близким к точке

В силу устойчивости по Пуассону существует такое, что

Но , поэтому

Итак, в любой окрестности точки имеются точки множества достижимости т. е.

Теорема 8.3 (Пуанкаре). Пусть гладкое многообразие с формой объема Пусть векторное поле полно, а его поток сохраняет объем. Пусть есть подмножество конечной меры, инвариантное относительно

Тогда все точки множества устойчивы по Пуассону для поля

Доказательство. Возьмем любую точку и любую ее окрестность конечного объема. Множество содержит непустое открытое подмножество поэтому Чтобы доказать теорему, мы

Зафиксируем любое Все множества имеют один и тот же положительный объем, поэтому некоторые из них должны пересекаться. Действительно, если бы

то так как все эти множества содержатся в Следовательно, существуют неотрицательные целые числа такие, что

Умножая это неравенство справа на получаем

Поэтому точка устойчива по Пуассону для и теорема доказана.

Векторное поле называется консервативным, если его поток сохраняет объем.

Напомним, что векторное поле на консервативно, т. е. сохраняет стандартный объем тогда и только тогда, когда это оно бездивергентно:

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление