Главная > Разное > Геометрическая теория управления
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

16.3. Экстремали

Мы не можем напрямую применить принцип максимума Понтря-гина к линейно-квадратичной задаче, так как условия существования оптимальных управлений доказаны нами в в то время как принцип максимума получен только в Однако предположим на время, что ПМП применим к линейно-квадратичной задаче. Легко записать уравнения для оптимальных управлений и траекторий, вытекающие из ПМП, более того, естественно ожидать, что эти уравнения должны выполняться. Сейчас мы выведем эти уравнения, а после этого обоснуем их.

Итак, выпишем принцип максимума для линейно-квадратичной задачи. Зависящий от управления гамильтониан равен

Сначала рассмотрим анормальный случай Согласно ПМП присоединенный вектор вдоль анормальной экстремали удовлетворяет уравнению поэтому условия максимума следует, что Дифференцируя это равенство раз и учитывая условие управляемости (16.2), получаем Это противоречит ПМП, поэтому анормальных траекторий не может быть.

В нормальном случае можно предположить Тогда зависящий от управления гамильтониан равен

Зависящее от и слагаемое имеет единственный максимум по и в точке, где

поэтому

Следовательно, максимизированный гамильтониан равен

Функция Гамильтона гладкая, поэтому нормальные экстремали суть решения соответствующей гамильтоновой системы

Покажем теперь, что оптимальные управления и траектории в линейно-квадратичной задаче действительно удовлетворяют уравнениям Рассмотрим расширенную систему

и соответствующее отображение в конец:

Благодаря формуле Коши это отображение можно выписать в явном виде:

Пусть есть оптимальное управление, соответствующая оптимальная траектория. Тогда

По теореме о неявной функции дифференциал

не сюръективен, т.е. существует такой ковектор что

Дифференциал отображения в конец находится из явных формул (16.8), (16.9):

Тогда условие ортогональности (16.10) записывается в следующем виде:

т. е.

Случай невозможен из-за условия (16.2). Обозначим тогда равенство (16.11) принимает вид

где

Итак, равенства (16.5), (16.6) доказаны. Дифференцируя (16.12), получаем последнее требуемое равенство (16.7).

Итак, мы доказали, что оптимальные траектории в линейно-квадратичной задаче суть проекции нормальных экстремалей принципа максимума (16.6), (16.7), а оптимальные управления удовлетворяют уравнению (16.5). В частности, оптимальные траектории и управления аналитичны.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление