Главная > Разное > Геометрическая теория управления
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

20.3. Дифференцирование отображения в конец

В этом параграфе мы вычислим дифференциал и гессиан отображения в конец для управляемой системы

с правой частью гладкой Мы исследуем отображение в конец

в окрестности фиксированного допустимого управления

Так же, как в доказательстве принципа максимума (см. параграф 12.2), из формулы вариаций следует разложение потока:

где

Далее, введем промежуточное отображение

Тогда

следовательно,

поэтому дифференцирование сводится к дифференцированию Мы вычислим производные отображения с помощью асимптотического разложения хронологической экспоненты:

Введем еще несколько обозначений:

Тогда дифференциал (первая вариация) отображения равен

Управление есть критическая точка (или, что эквивалентно, тогда и только тогда, когда существует такой множитель Лагранжа

что

т. е.

Перенося ковектор вдоль исследуемой траектории

получаем кривую ковекторов

являющуюся траекторией гамильтоновой системы

(предложение 11.3). Тогда

Мы показали, что и есть критическая точка отображения в конец тогда и только тогда, когда существует такая кривая ковекторов

что

В частности, любая понтрягинская экстремаль есть критическая точка отображения в конец. Из принципа максимума Понтрягина следуют условия оптимальности первого порядка (20.16), (20.17). Отметим, что ПМП содержит больше, чем эти условия: согласно ПМП гамильтониан не только критичен, как в (20.17), но достигает максимума вдоль оптимального управления Обратимся к условиям второго порядка.

Из асимптотического разложения (20.15) следует выражение для второго дифференциала:

где

т. е.

Преобразуем эту формулу для второй вариации с помощью следующего разложения на симметричную и кососимметричную части.

Упражнение 20.4. Пусть неавтономное векторное поле на Тогда

Полагая и учитывая, что получаем

поэтому

Первый член удобно выражается в гамильтоновых терминах, так как

Тогда

Для того чтобы записать и второй член этого выражения в гамильтоновых терминах, вычислим линейный на слоях гамильтониан, соответствующий векторному полю

где производные по и берутся при Вводя гамильтониан

можно записать второй член выражения (20.18) для второй вариации в следующем виде:

Здесь производные берутся при

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление