Мера и интеграл

  

Дьяченко М. И., Ульянов П. Л. Мера и интеграл. — М.: Изд-во «Факториал», 1998, — 160 с.

Книга представляет собой вводный курс в теорию меры и интеграла и предназначена для начального знакомства с предметом.

Авторы настоящего пособия поставили своей целью создание учебника, максимально приближенного к университетскому курсу действительного анализа и опирающегося на многолетний опыт преподавания этой дисциплины на механико-математическом факультете Московского государственного университета.

Основные вопросы, рассматриваемые в книге — это теория меры, измеримые функции, интеграл Лебега.

Для студентов и аспирантов физико-математических специальностей.



Оглавление

ПРЕДИСЛОВИЕ
ГЛАВА 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ МЕРЫ
§ 1. Множества и операции над ними. Системы множеств
§ 2. Конечные меры на системах множеств
§ 3. Внешняя мера. Продолжение меры по Лебегу и по Жордану
§ 4. Мера Бореля. Меры Лебега-Стилтьеса
§ 5. «сигма»-конечные меры. Мера Лебега на Rn
§ 6. Непрерывность и полнота мер
§ 7. Неизмеримые множества
§ 8. Прямые произведения мер
§ 9. Структура измеримых множеств
ГЛАВА 2. ИЗМЕРИМЫЕ ФУНКЦИИ
§ 11. Множество Кантора и кривая Кантора
§ 12. Сходимость по мере и ее свойства
§ 13. Сходимость почти всюду
ГЛАВА 3. ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА
§ 14. Интеграл Лебега для простых функций
§ 15. Интеграл Лебега для произвольных измеримых функций
§ 16. Переход к пределу под знаком интеграла Лебега
§ 17. Дальнейшие свойства интеграла Лебега
§ 18. Сравнение интеграла Лебега с интегралом Римана
ГЛАВА 4. НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛА ЛЕБЕГА
§ 19. Теорема Лузина
§ 20. Заряды. Теорема Радона-Никодима
§ 21. «сигма»-аддитивность прямого произведения мер. Теорема Фубини
§ 22. Неравенства Гёльдера и Минковского. Пространства Lp
§ 23. Полнота и некоторые другие свойства пространств Lp
ГЛАВА 5. ФУНКЦИИ ОГРАНИЧЕННОЙ ВАРИАЦИИ И АБСОЛЮТНО НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ
§ 24. Функции ограниченной вариации на отрезке
§ 25. Абсолютно непрерывные функции на отрезке
§ 26. Неопределенный интеграл Лебега
§ 27. Интегралы Римана-Стилтьеса и Лебега-Стилтьеса
ГЛАВА 6. ОРТОНОРМИРОВАННЫЕ СИСТЕМЫ И КОЭФФИЦИЕНТЫ ФУРЬЕ
§ 28. Гильбертово пространство
§ 29. Ортонормированные системы в гильбертовых пространствах
§ 30. Интерполирование линейных операторов в функциональных пространствах
§ 31. Некоторые теоремы о коэффициентах Фурье
§ 32. Теорема Карлемана и неусиляемость теоремы Хаусдорфа-Юнга