Макеты страниц § 18. Сравнение интеграла Лебега с интегралом РиманаЗаметим, что, несмотря на доказанный в предыдущем параграфе критерий интегрируемости по Лебегу, мы можем практически вычислить интеграл Лебега лишь для простых функций. Для классической меры Лебега на отрезке в Теорема 18.1. Пусть
Тогда
Доказательство. Пусть
и
Теперь введем функции
при Заметим, что при любом
Кроме того, для любого
При этом по следствию 16.1 (см. (18.1))
Отсюда
и применяя следствие 17.1, получим, что
Что и требовалось доказать. Замечание 18.1. Пример функции Дирихле, равной нулю во всех иррациональных точках одномерного отрезка [0, 1] и единице во всех рациональных точках этого отрезка, показывает, что даже не всякая ограниченная интегрируемая по Лебегу функция интегрируема по Риману. Несколько более сложным образом интеграл Лебега связан с несобственным интегралом Римана на отрезке. С одной стороны, пример из замечания 18.1 показывает, что из интегрируемости по Лебегу, вообще говоря, не вытекает и интегрируемость в несобственном смысле по Риману. С другой стороны, функция Теорема 18.2. Пусть и интегрируема по Риману на этом отрезке в несобственном смысле, причем
Тогда
Доказательство. Пусть
Тогда в силу неотрицательности функции
Применяя следствие 16.1, получим
а это и нужно было установить.
|
Оглавление
|