и, следовательно, функция
определена корректно. На множестве
она, очевидно, совпадает с
Установим непрерывность функции
Поскольку функция
непрерывна на
функция
на
является композицией непрерывных отображений, а потому и сама непрерывна на
Рассмотрим случай, когда
Пусть задано
Выберем
так, чтобы при
выполнялось неравенство
Пусть теперь
и
Если
то доказывать нечего, а если у то
и потому для любого
выполнено неравенство
Следовательно (см. следствие 15.2),
и лемма полностью доказана.
Лемма 19.2. Пусть
простая функция на
Тогда для любого
существует такое замкнутое множество
что
и функция
непрерывна на
по множеству
Доказательство. Сначала отметим, что если функция
постоянна на замкнутом множестве
то она непрерывна на этом множестве. Если теперь
где
то (см. следствие 9.1) можно выбрать замкнутые множества
так, чтобы
при
Тогда множество
будет искомым.
Теорема 19.1 (теорема Лузина). Пусть
конечная и измеримая относительно классической меры Лебега на
-мерном отрезке
функция. Тогда для любого
существует такая непрерывная на
функция
что
Доказательство. Достаточно доказать теорему для неотрицательной функции
Используя лемму 15.1, построим последовательность простых функций
при
Далее, по лемме 19.2 для каждого
выберем замкнутое множество
так, чтобы
и чтобы функция
была непрерывна на
Пусть задано
Выберем
так, что
Отметим, что если
то
и последовательность непрерывных на В функций сходится на этом множестве к функции
По теореме Егорова можно выбрать множество
на котором эта сходимость будет равномерной и такое, что
При этом (см. следствие 9.1) множество
можно также считать замкнутым. По известной теореме из курса математического анализа, функция
непрерывна на множестве
Это множество замкнуто, и применяя лемму 9.1, можно найти замкнутое множество
не имеющее точек усиленного разрежения и такое, что
Для завершения доказательства теоремы остается только продолжить непрерывную на
функцию
до непрерывной на
функции
воспользовавшись леммой 19.1.
Замечание 19.1. В теореме Лузина, разумеется, можно считать, что функция
конечна лишь почти всюду на
Представляется любопытным, что вариант теоремы Лузина, упомянутый в замечании 19.1, допускает несложное обращение.
Утверждение 19.1. Если функция
определена на
-мерном отрезке
и такова, что для любого